Nombres complexes et algèbre

Comment déterminer un ensemble de points (lieu géométrique) avec les nombres complexes ? Méthode algébrique (x+iy) et méthode géométrique (distance/module).

Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique d'un nombre complexe : calcul du module et de l'argument étape par étape.

Convertir un nombre complexe entre forme algébrique a+ib et forme exponentielle r e^{itheta} : méthode étape par étape avec exemples.

Calculer un produit, un quotient ou une puissance de nombres complexes avec la forme exponentielle : méthode et exemples avec la formule de Moivre.

Démontrer qu'un triangle est isocèle, rectangle ou équilatéral à partir des affixes de ses sommets : critères sur le module et l'argument du quotient.

Démontrer que trois points sont alignés ou que deux droites sont perpendiculaires à partir des affixes : critères sur le quotient des affixes.

Calculer une distance AB ou un angle de vecteurs à partir des affixes : module pour les longueurs, argument du quotient pour les angles.

Comment déterminer le reste de la division euclidienne d'une puissance (type a^n) à l'aide des congruences ? Méthode détaillée et exemples.

Comment effectuer la division euclidienne d'un entier relatif (positif ou négatif) par un entier non nul en respectant la condition 0 ≤ r < |b| ?

Comment démontrer qu'un entier en divise un autre en utilisant les propriétés de la divisibilité et les combinaisons linéaires ?

Comment démontrer qu'une expression entière est divisible par n pour tout entier en raisonnant par disjonction des cas modulo n ?

Comment démontrer qu'une expression dépendant de n est divisible par un entier fixe pour tout n, en utilisant un raisonnement par récurrence ?

Méthode pour résoudre une congruence linéaire ax = b [n] : condition d'existence avec le PGCD, inverse modulaire via Bézout, ensemble des solutions.

Méthode pour déterminer les coefficients de Bézout à l'aide de l'algorithme d'Euclide étendu. Exemple détaillé pour trouver u et v tels que au+bv=PGCD(a,b).

Calculer le PGCD de deux nombres entiers facilement grâce à l'algorithme d'Euclide. Méthode détaillée et exemple commenté.

Méthode pour décomposer un entier en produit de facteurs premiers : tester les nombres premiers successivement, écrire le résultat avec exposants.

Méthode pour démontrer qu'un entier naturel est premier en testant uniquement les diviseurs premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée.

Méthode pour résoudre dans les entiers une équation ax+by=c : condition d'existence, solution particulière, solution générale via le théorème de Gauss.

Méthode du crible d'Ératosthène pour lister les nombres premiers jusqu'à N en barrant les multiples, avec tableau jusqu'à 30 et version algorithmique.

Méthode pour additionner deux matrices et multiplier une matrice par un réel : vérifier les dimensions, calculer coefficient par coefficient.

Méthode pour calculer le produit de deux matrices : vérifier les dimensions, appliquer la règle ligne par colonne, organiser les calculs.

Méthode pour calculer la puissance d'une matrice carrée : itération directe, conjecture sur les premières puissances, démonstration par récurrence.

Méthode pour calculer et vérifier l'inverse d'une matrice 2×2 : formule du déterminant, contrôle par AB = BA = I, usage de la calculatrice.

Méthode pour résoudre un système linéaire avec l'écriture matricielle AX = B et la matrice inverse : poser, vérifier, calculer X = A^-1 B.

Méthode pour construire la matrice d'adjacence d'un graphe (orienté ou non), avec deux exemples détaillés incluant boucles et arêtes multiples.

Méthode pour utiliser les puissances de la matrice d'adjacence afin de compter les chaînes d'une longueur donnée dans un graphe.

Méthode pour utiliser le théorème d'Euler : tester l'existence d'une chaîne ou d'un cycle eulérien, puis en construire un explicitement.

Méthode pour encadrer puis déterminer le nombre chromatique d'un graphe : borne supérieure par le degré maximal et borne inférieure par les sous-graphes complets.

Methode pour construire la matrice de transition P d'une chaine de Markov a partir d'un graphe probabiliste et calculer la distribution a l'etape n par pi_n = pi_0 P^n.

Methode pour determiner la distribution invariante (etat stable) d'une chaine de Markov : resoudre pi = pi P avec la condition somme des composantes egale a 1.

Apprenez à dérouler l'algorithme de Dijkstra étape par étape à travers un exemple détaillé et illustré pour trouver le plus court chemin dans un graphe.

Méthode pour calculer pas à pas les premiers termes d'une suite de matrices colonnes définie par U(n+1) = AU(n).

Méthode pour transformer un système de suites couplées en relation matricielle U(n+1) = AU(n) en identifiant la matrice A et le vecteur initial.

Méthode pour exprimer le terme général d'une suite matricielle U(n+1) = AU(n) + C par recherche du point fixe et changement de suite.

Méthode pour construire la matrice de transition d'une chaîne de Markov à partir d'un énoncé probabiliste ou d'un graphe pondéré.

Méthode pour calculer la distribution X_n d'une chaîne de Markov : itération X_{n+1} = X_n P et formule X_n = X_0 P^n.

Méthode pour déterminer la distribution invariante d'une chaîne de Markov en résolvant le système X = XP avec la condition de somme égale à 1.