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PGCD et nombres premiers Exercices

Congruences – Bac S Liban 2009

Durée estimée
25 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel $ n $ dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009, c'est-à-dire tel que $ n^{3}\equiv 2009 \pmod{10\,000} $.

Partie A

  1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $ 2009^{2} $ par $ 16 $.
  2. En déduire que $ 2009^{8001}\equiv 2009 \pmod{16} $.

Partie B

On considère la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie sur $ \mathbb{N} $ par :

$ u_{0}=2009^{2} - 1 $ et, pour tout entier naturel $ n, u_{n+1}=\left(u_{n}+1\right)^{5} - 1 $.

    1. Démontrer que $ u_{0} $ est divisible par 5.

    2. Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel $ n $

      $ u_{n+1}=u_{n}\left[u_{n}^{4}+5\left(u_{n}^{3}+2u_{n}^{2} +2u_{n}+1\right)\right] $

    3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n} $ est divisible par $ 5^{n+1} $.
    1. Vérifier que $ u_{3}=2009^{250} - 1 $ puis en déduire que $ 2009^{250}\equiv 1 \pmod{625} $.
    2. Démontrer alors que $ 2009^{8001}\equiv 2009 \pmod{625} $.

Partie C

  1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que $ 2009^{8001} - 2009 $ est divisible par 10 000.
  2. Conclure, c'est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009.

Corrigé

Partie A

  1. En remarquant que $2000 = 16 \times 125$ on peut écrire :

    $2009 \equiv 9 [16] \Rightarrow 2009^2 \equiv 81 [16]$

    Et puisque $80 = 16 \times 5$, on a $2009^2 \equiv 1 [16]$, ce qui montre que le reste de la division euclidienne de $2009^2$ par $16$ est égal à 1.

  2. On en déduit que toute puissance paire de 2009 est congrue à 1 modulo 16 et que toute puissance impaire est congrue à 2009 modulo 16. D'où :

    $2009^{8001} \equiv 2009 [16]$

Partie B

    1. $u_0 = 2009^2 - 1 = (2009 + 1)(2009 - 1) = 2010 \times 2008 = 5 \times 402 \times 2008$, ce qui montre que $u_0$ est divisible par 5.

    2. La formule du binôme de Newton appliquée à $(u_n + 1)^5$ donne :

      $(u_n + 1)^5 = u_n^5 + 5u_n^4 + 10u_n^3 + 10u_n^2 + 5u_n + 1$

      D'où :

      $(u_n + 1)^5 - 1 = u_n [u_n^4 + 5(u_n^3 + 2u_n^2 + 2u_n + 1)]$

    3. La proposition est vraie pour $u_0$ (cf. 1.1). Montrons que si elle vraie pour $u_n$ elle l'est aussi pour $u_{n+1}$.
      Posons $u_n = N \times 5^{n+1}$. D'après ce qui précède, on peut écrire :

      $(u_n + 1)^5 - 1 = u_n [u_n^4 + 5(u_n^3 + 2u_n^2 + 2u_n + 1)] = N \times 5^{n+1} [N^4 \times 5^{4n+4} + 5(u_n^3 + 2u_n^2 + 2u_n + 1)]$

      Soit :

      $u_{n+1} = (u_n + 1)^5 - 1 = N \times 5^{n+2} [N^4 \times 5^{4n+3} + (u_n^3 + 2u_n^2 + 2u_n + 1)]$

      ce qui démontre que $u_{n+1}$ est divisible par $5^{n+2}$. La proposition est donc vraie pour tous les termes de la suite $(u_n)$.

    1. Démontrons par récurrence que $u_n = 2009^{2 \times 5^n} - 1$.
      Ceci est vrai pour $u_0 = 2009^{2 \times 5^0} - 1$. Si la proposition est vraie pour $u_n$, montrons qu'elle est vraie pour $u_{n+1}$ :

      $u_{n+1} = (u_n + 1)^5 - 1 = (2009^{2 \times 5^n} - 1 + 1)^5 - 1 = 2009^{2 \times 5^{n+1}} - 1$

      Ainsi la proposition est vraie pour tous les termes de la suite $(u_n)$. Alors $u_3 = 2009^{2 \times 5^3} - 1 = 2009^{250} - 1$.
      D'après ce qui précède $u_3$ est divisible par $5^4 = 625$. Donc :

      $2009^{250} - 1 \equiv 0 [625] \Rightarrow 2009^{250} \equiv 1 [625]$

    2. On remarque que $8000 = 250 \times 32$. Donc :

      $2009^{8000} = (2009^{250})^{32} \equiv 1^{32} \equiv 1 [625] \Rightarrow 2009^{8001} \equiv 2009 [625]$

Partie C

  1. Un corollaire du théorème de Gauss énonce que si un nombre entier $a$ est divisible par deux nombres entiers $b$ et $c$ premiers entre eux, alors $a$ est divisible par le produit $bc$.
    Dans ce qui précède, nous avons démontré que $2009^{8001} - 2009$ est divisible par 16 et 625 qui sont premiers entre eux. Il s'ensuit que $2009^{8001} - 2009$ est divisible par $16 \times 625 = 10000$.

  2. En remarquant que $8001 = 3 \times 2667$, on peut conclure que le nombre $n = 2009^{2667}$ est tel que $n^3 = (2009^{2667})^3$ est un cube dont l'écriture décimale se termine par 2009, c'est à dire tel que :

    $(2009^{2667})^3 \equiv 2009 [10000]$