Produit de deux matrices — non-commutativité

$ A\times B=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\times 1+1\times (-1) & 3\times 2+1\times 3 \\ 2\times 1+0\times (-1) & 2\times 2+0\times 3\end{pmatrix} $

Donc $\mathbf{A\times B=\begin{pmatrix} 2 & 9 \\ 2 & 4\end{pmatrix}}$

$ B\times A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\times 3+2\times 2 & 1\times 1+2\times 0 \\ (-1)\times 3+3\times 2 & (-1)\times 1+3\times 0\end{pmatrix} $

Donc $\mathbf{B\times A=\begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & -1\end{pmatrix}}$

On constate que $ A\times B=\begin{pmatrix} 2 & 9 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & -1\end{pmatrix}=B\times A $.

La multiplication matricielle n'est pas commutative : en général, $ A\times B\neq B\times A $.

$ A\times I=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\times 1+1\times 0 & 3\times 0+1\times 1 \\ 2\times 1+0\times 0 & 2\times 0+0\times 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}=A $

$ I\times A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\times 3+0\times 2 & 1\times 1+0\times 0 \\ 0\times 3+1\times 2 & 0\times 1+1\times 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}=A $

On a bien vérifié que $ A\times I=I\times A=A $ : la matrice unité joue le même rôle que le nombre 1 pour la multiplication.