Effectuer des calculs avec la forme exponentielle
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
La forme exponentielle simplifie radicalement les produits, quotients et puissances. Pour deux nombres complexes $ z=re^{i\theta} $ et $ z'=r'e^{i\theta'} $ :
- Étape 1 : Mettre les nombres complexes sous forme exponentielle (calcul du module et de l'argument).
Étape 2 : Appliquer la règle adaptée :
- Produit : $ zz'=rr'\,e^{i\left(\theta+\theta'\right)} $ (multiplier les modules, additionner les arguments).
- Quotient : $ \dfrac{z}{z'}=\dfrac{r}{r'}\,e^{i\left(\theta-\theta'\right)} $ (diviser les modules, soustraire les arguments).
- Puissance : $ z^{n}=r^{n}\,e^{in\theta} $ (formule de Moivre).
- Étape 3 : Si nécessaire, repasser en forme algébrique en utilisant $ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta $.
Calcul d'une puissance avec la formule de Moivre
Calculer $ \left(1+i\right)^{8} $.
Étape 1 : On met $ 1+i $ sous forme exponentielle.
$ |1+i|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} $
$ \cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ et $ \sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ donc $ \theta=\dfrac{\pi}{4} $.
D'où : $ 1+i=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}} $.
Étape 2 : On applique la formule de Moivre :
$ \left(1+i\right)^{8}=\left(\sqrt{2}\right)^{8}\,e^{i\times 8\times \frac{\pi}{4}}=2^{4}\,e^{i\times 2\pi}=16\,e^{i\times 2\pi} $
Étape 3 : Comme $ e^{i\times 2\pi}=\cos\left(2\pi\right)+i\sin\left(2\pi\right)=\color{red}{1}\color{black} $ :
Quotient et forme algébrique
Calculer $ \dfrac{z}{z'} $ et le mettre sous forme algébrique, où $ z=2e^{i\frac{2\pi}{3}} $ et $ z'=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{12}} $.
Étape 1 : Les nombres sont déjà sous forme exponentielle.
Étape 2 : On divise les modules et on soustrait les arguments :
$ \dfrac{z}{z'}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\,e^{i\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{12}\right)}=\sqrt{2}\,e^{i\left(\frac{8\pi}{12}-\frac{\pi}{12}\right)}=\sqrt{2}\,e^{i\frac{7\pi}{12}} $
Étape 3 : $ \dfrac{7\pi}{12} $ n'est pas un angle remarquable direct, mais on peut l'écrire $ \dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3} $ et utiliser :
$ e^{i\frac{7\pi}{12}}=e^{i\frac{\pi}{4}}\times e^{i\frac{\pi}{3}}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right)\times \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) $
En développant : $ \dfrac{\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{6}}{4}i+\dfrac{\sqrt{2}}{4}i+\dfrac{\sqrt{6}}{4}i^{2}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}i $
D'où finalement :
Remarque
Pour calculer $ z^{n} $ quand $ n $ est grand, la forme exponentielle est imbattable : $ \left(1+i\right)^{20} $ se calcule en quelques secondes via la formule de Moivre, alors que le développement direct est inextricable.
Penser aussi à réduire l'argument modulo $ 2\pi $ : $ e^{i\times 17\pi/3}=e^{i\left(\frac{17\pi}{3}-4\pi\right)}=e^{-i\frac{7\pi}{3}}=e^{-i\frac{\pi}{3}} $.
Attention
La formule de Moivre $ \left(re^{i\theta}\right)^{n}=r^{n}e^{in\theta} $ exige que le module $ r $ soit élevé à la puissance $ n $, pas seulement multiplié par $ n $. Erreur très fréquente : écrire $ \left(2e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^{4}=8e^{i\frac{4\pi}{3}} $ au lieu de $ 2^{4}e^{i\frac{4\pi}{3}}=16e^{i\frac{4\pi}{3}} $.