Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Somme de puissances et congruences

Montrer que pour tout entier naturel nn : 2n+4+33n+22^{n +4}+3^{3n+2} est divisible par 2525.

Corrigé

L'astuce consiste à remarquer que 33=273^3=27 est congru à 22 modulo 2525 et à se ramener à des puissances de 22
33=272 (mod. 25)3^3 = 27 \equiv 2 \ (\text{mod.}\ 25)

Par conséquent, en élevant chaque membre à la puissance nn :

33n2n (mod. 25)3^{3n} \equiv 2^n \ (\text{mod.}\ 25)

Et en multipliant par 323^2 :

33n×322n×32 (mod. 25)3^{3n} \times 3^2 \equiv 2^n \times 3^2 \ (\text{mod.}\ 25)

33n+29×2n (mod. 25)3^{3n+2} \equiv 9 \times 2^n\ (\text{mod.}\ 25)

Il suffit maintenant d'ajouter 2n+42^{n +4} à chaque membre :

33n+2+2n+49×2n+2n+4 (mod. 25)3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 9 \times 2^n + 2^{n +4} \ (\text{mod.}\ 25)

33n+2+2n+49×2n+2n×24 (mod. 25)3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 9 \times 2^n + 2^{n} \times 2^4 \ (\text{mod.}\ 25)

33n+2+2n+49×2n+2n×16 (mod. 25)3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 9 \times 2^n + 2^{n} \times 16 \ (\text{mod.}\ 25)

33n+2+2n+425×2n (mod. 25)3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 25 \times 2^n \ (\text{mod.}\ 25)

Et comme 25×2n25 \times 2^n est divisible par 2525, 2n+4+33n+22^{n +4}+3^{3n+2} l'est aussi.