Exercice corrigéMontrer que pour tout entier naturel n : 2^{n +4}+3^{3n+2} est divisible par 25.
Corrigé
L’astuce consiste à remarquer que 3^3=27 est congru à 2 modulo 25 et à se ramener à des puissances de 2
3^3 = 27 \equiv 2 \ (\text{mod.}\ 25)Par conséquent, en élevant chaque membre à la puissance n :
3^{3n} \equiv 2^n \ (\text{mod.}\ 25)
Et en multipliant par 3^2 :
3^{3n} \times 3^2 \equiv 2^n \times 3^2 \ (\text{mod.}\ 25)
3^{3n+2} \equiv 9 \times 2^n\ (\text{mod.}\ 25)
Il suffit maintenant d’ajouter 2^{n +4} à chaque membre :
3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 9 \times 2^n + 2^{n +4} \ (\text{mod.}\ 25)
3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 9 \times 2^n + 2^{n} \times 2^4 \ (\text{mod.}\ 25)
3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 9 \times 2^n + 2^{n} \times 16 \ (\text{mod.}\ 25)
3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 25 \times 2^n \ (\text{mod.}\ 25)
Et comme 25 \times 2^n est divisible par 25, 2^{n +4}+3^{3n+2} l’est aussi.
