Arithmétique : Suite d'entiers - Bac S Amérique du Nord 2011

Exercice 3

Enseignement de spécialité

Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :

"Si $p$ est un nombre premier et $q$ un entier naturel premier avec $p$ , alors

$q^{p - 1}\equiv 1$ (modulo $p$ )".

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :

$u_{n}=2^{n}+3^{n}+6^{n} - 1$ .

Calculer les six premiers termes de la suite.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est pair.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$ pair non nul, $u_{n}$ est divisible par 4.

On note (E) l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite $\left(u_{n}\right)$ .
Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l'ensemble (E) ?
Soit $p$ un nombre premier strictement supérieur à 3.
1. Montrer que : $6 \times 2^{p - 2}\equiv 3\ \ (\text{modulo}\ p)$ et $6 \times 3^{p - 2}\equiv 2 \ \ (\text{modulo}\ p)$ .
2. En déduire que $6u_{p - 2}\equiv 0 \ \ (\text{modulo}\ p)$ .
3. Le nombre $p$ appartient-il à l'ensemble (E) ?