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PGCD et nombres premiers Exercices

Arithmétique : Suite d’entiers – Bac S Amérique du Nord 2011

Durée estimée
25 minutes
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Objectif travaillé

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :

"Si $ p $ est un nombre premier et $ q $ un entier naturel premier avec $ p $, alors

$ q^{p - 1}\equiv 1 $ (modulo $ p $)".

On considère la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie pour tout entier naturel $ n $ non nul par :

$ u_{n}=2^{n}+3^{n}+6^{n} - 1 $.

  1. Calculer les six premiers termes de la suite.
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $ non nul, $ u_{n} $ est pair.

  3. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $ pair non nul, $ u_{n} $ est divisible par 4.

    On note (E) l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite $ \left(u_{n}\right) $.

  4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l'ensemble (E) ?

  5. Soit $ p $ un nombre premier strictement supérieur à 3.

    1. Montrer que : $ 6 \times 2^{p - 2}\equiv 3\ \ (\text{modulo}\ p) $ et $ 6 \times 3^{p - 2}\equiv 2 \ \ (\text{modulo}\ p) $.
    2. En déduire que $ 6u_{p - 2}\equiv 0 \ \ (\text{modulo}\ p) $.
    3. Le nombre $ p $ appartient-il à l'ensemble (E) ?

Corrigé

Partie A

Théorème de Gauss : Soit $a$, $b$ et $c$ trois nombres $\in \mathbb{Z}^*$. Si $a$ divise le produit $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$.

Théorème de Bézout : Deux entiers relatifs sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$.

Si $a$ divise le produit $bc$, il existe un nombre relatif $k$ tel que $ka = bc$.
Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, ils satisfont à l'égalité de Bézout : $au + bv = 1$.

Multiplions les deux membres de cette égalité par $c$ :
$acu + bcv = c$. Comme $bc = ka$, on a :
$acu + kav = c$
$a(cu + kv) = c$
donc $a$ divise $c$.

Partie B

  1. $u_n = 2^{n} + 3^{n} + 6^{n} - 1$

    $n$ 1 2 3 4 5 6
    $u_n$ 10 48 250 1392 8050 47448
  2. Pour $n > 0$, on a les égalités suivantes modulo $2$ :
    $2^n \equiv 0 \pmod 2$ ; $3 \equiv 1 \pmod 2$ d’où $3^n \equiv 1 \pmod 2$ ; $6^n \equiv 0 \pmod 2$.

    Donc $u_n = 2^n + 3^n + 6^n - 1 = 0 + 1 + 0 - 1 = 0$ donc $u_n$ est pair pour tout $n > 0$.
  3. Posons $n = 2k$, $k$ étant un entier naturel non nul.
    $u_n = 2^n + 3^n + 6^n - 1 = (2^2)^k + (3^2)^k + (6^2)^k - 1$.
    On a les égalités suivantes modulo $4$ :
    $(2^2)^k = 4^k \equiv 0 \pmod 4$ ; $3^2 = 9 \equiv 1 \pmod 4$ d’où $(3^2)^k \equiv 1 \pmod 4$ ; $(6^2)^k = 36^k \equiv 0 \pmod 4$.

    Donc $u_n \equiv 0 + 1 + 0 - 1 \equiv 0 \pmod 4$.
    Par conséquent, $u_n$ est divisible par 4 pour tout $n$ pair et non nul.

  4. D’après le tableau en 1) :

    • $u_1 = 10$, divisible par 2.
    • $u_2 = 48$, divisible par 3.
    • $u_3 = 250$, divisible par 5.
    • $u_5 = 8050$, divisible par 7.

    Donc 2, 3, 5 et 7 appartiennent à l’ensemble $(E)$.

  5. Remarquons que si $p$ est un nombre premier $> 3$, il est premier avec 2, avec 3 et avec 6.

    1. D’après le petit théorème de Fermat on a :
      $2^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ qui peut s’écrire $2 \times 2^{p-2} \equiv 1 \pmod p$ et, en multipliant les deux membres de la congruence par 3 :

      $6 \times 2^{p-2} \equiv 3 \pmod p$

      Similairement :
      $3^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ qui peut s’écrire $3 \times 3^{p-2} \equiv 1 \pmod p$ et, en multipliant les deux membres de la congruence par 2 :

      $6 \times 3^{p-2} \equiv 2 \pmod p$
    2. $u_{p-2} = 2^{p-2} + 3^{p-2} + 6^{p-2} - 1$
      $6 u_{p-2} = 6 \times 2^{p-2} + 6 \times 3^{p-2} + 6 \times 6^{p-2} - 6$
      $6 u_{p-2} = 6 \times 2^{p-2} + 6 \times 3^{p-2} + 6^{p-1} - 6$

      En remarquant que $6^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ (petit théorème de Fermat), on a :
      $6 \times 2^{p-2} + 6 \times 3^{p-2} + 6^{p-1} - 6 \equiv 3 + 2 + 1 - 6 \equiv 0 \pmod p$.
      Soit $6 u_{p-2} \equiv 0 \pmod p$.
    3. $p$ est premier avec 6, donc $p$ divise $u_{p-2}$ (théorème de Gauss).
      Donc $p \in (E)$.