Calculer le module et un argument d’un nombre complexe
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Soit $ z=a+ib $ un nombre complexe non nul. Pour déterminer son module $ r $ et un argument $ \theta $ :
- Étape 1 : Calculer le module $ r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} $.
- Étape 2 : Déterminer $ \theta $ tel que $ \cos\theta=\dfrac{a}{r} $ et $ \sin\theta=\dfrac{b}{r} $.
- Étape 3 : Reconnaître l'angle remarquable correspondant aux deux valeurs trouvées (les deux conditions sont nécessaires pour lever l'ambiguïté).
- Étape 4 : Donner $ \theta $ modulo $ 2\pi $.
Remarque
Quelques angles remarquables (modulo $ 2\pi $) :
Module et argument d'un complexe à partie imaginaire positive
Soit $ z=1+i\sqrt{3} $. Calculer $ |z| $ et donner un argument de $ z $.
Étape 1 : Module :
$ |z|=\sqrt{1^{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=\color{red}{2}\color{black} $
Étape 2 : Argument $ \theta $ tel que :
$ \cos\theta=\dfrac{1}{2} $ et $ \sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
Étape 3 : On reconnaît $ \theta=\dfrac{\pi}{3} $ (les deux valeurs correspondent à cet angle).
Étape 4 : On a donc :
Module et argument d'un complexe à partie réelle négative
Soit $ z=-2+2i $. Calculer $ |z| $ et donner un argument de $ z $.
Étape 1 : Module :
$ |z|=\sqrt{\left(-2\right)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=\color{red}{2\sqrt{2}}\color{black} $
Étape 2 : Argument $ \theta $ tel que :
$ \cos\theta=\dfrac{-2}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ et $ \sin\theta=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $
Étape 3 : Le cosinus est négatif et le sinus est positif : l'angle est dans le deuxième quadrant. On reconnaît $ \theta=\dfrac{3\pi}{4} $.
Étape 4 : On obtient :
Attention
Ne jamais conclure sur l'argument à partir du seul $ \cos\theta $ ou du seul $ \sin\theta $ : il existe deux angles dans $ \left[0\,;\,2\pi\right[ $ qui partagent la même valeur de $ \cos $ (et de même pour $ \sin $).
Le signe de la partie réelle $ a $ et celui de la partie imaginaire $ b $ déterminent le quadrant :
- $ a>0 $, $ b>0 $ : argument dans $ \left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[ $
- $ a<0 $, $ b>0 $ : argument dans $ \left]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[ $
- $ a<0 $, $ b<0 $ : argument dans $ \left]-\pi\,;\,-\dfrac{\pi}{2}\right[ $
- $ a>0 $, $ b<0 $ : argument dans $ \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,0\right[ $