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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Matrice de transition et Suites

Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d'habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage.

On admet que :

Première partie

On note C l'état « pratiquer le co-voiturage » et V l'état « se déplacer seul dans sa voiture ».

  1. Dessiner un graphe probabiliste de sommets C et V qui modélise la situation aléatoire décrite.

  2. En considérant C et V dans cet ordre, en ligne, la matrice de transition associée à ce graphe est

    M=(0,40,60,350,65)M=\begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \\ 0,35 & 0,65 \end{pmatrix}

    Vérifier que l'état stable du système correspond à la matrice ligne (70120)\left(70 \quad 120\right).

    En donner une interprétation.

Deuxième partie

En 2000, 60 milliers d'habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d'habitants se déplaçaient seuls dans leur voiture.

On appelle XnX_{n} (nn entier naturel) le nombre de milliers d'habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l'année 2000+n2000+n. On a donc X0=60X_{0}=60.

On admet que pour tout entier naturel nn, Xn+1=0,05Xn+66,5X_{n+1}=0,05X_{n}+66,5.

On considère la suite (un)nN\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} définie pour tout entier naturel n par un=Xn70u_{n}=X_{n} - 70.

  1. Prouver que la suite (un)nN\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

  2. Montrer que pour tout entier naturel nn, Xn=7010×0,05nX_{n}=70 - 10 \times 0,05^{n}.

    Est-il possible que, durant une année, le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région