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Terminale ES/L

difficulté moyenneExercice non corrigé

Matrice de transition et Suites

Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d'habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage.

On admet que :

  • si une année un habitant pratique le co-voiturage, l'année suivante il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale à 0,6 ;
  • si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l'année suivante il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale à 0,35.

Première partie

On note C l'état « pratiquer le co-voiturage » et V l'état « se déplacer seul dans sa voiture ».

  1. Dessiner un graphe probabiliste de sommets C et V qui modélise la situation aléatoire décrite.
  2. En considérant C et V dans cet ordre, en ligne, la matrice de transition associée à ce graphe est
    M=\begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \\ 0,35 & 0,65 \end{pmatrix}
    Vérifier que l'état stable du système correspond à la matrice ligne \left(70 \quad 120\right).
    En donner une interprétation.

Deuxième partie

En 2000, 60 milliers d'habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d’habitants se déplaçaient seuls dans leur voiture.
On appelle X_{n} (n entier naturel) le nombre de milliers d’habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l’année 2000+n. On a donc X_{0}=60.
On admet que pour tout entier naturel n, X_{n+1}=0,05X_{n}+66,5.
On considère la suite \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} définie pour tout entier naturel n par u_{n}=X_{n}-70.

  1. Prouver que la suite \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
  2. Montrer que pour tout entier naturel n, X_{n}=70-10 \times 0,05^{n}.
    Est-il possible que, durant une année, le nombre d’habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région ?
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Dans ce chapitre...

Cours

  • Graphe probabiliste [spé]

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