Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d'habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage.

On admet que :

• si une année un habitant pratique le co-voiturage, l'année suivante il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale à 0,6 ;

• si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l'année suivante il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale à 0,35.

Première partie

On note C l'état « pratiquer le co-voiturage » et V l'état « se déplacer seul dans sa voiture ».

1. Dessiner un graphe probabiliste de sommets C et V qui modélise la situation aléatoire décrite.

2. En considérant C et V dans cet ordre, en ligne, la matrice de transition associée à ce graphe est

   $M=\begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \\ 0,35 & 0,65 \end{pmatrix}$

   Vérifier que l'état stable du système correspond à la matrice ligne $\left(70 \quad 120\right)$.

   En donner une interprétation.

Deuxième partie

En 2000, 60 milliers d'habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d'habitants se déplaçaient seuls dans leur voiture.

On appelle $X_{n}$ ($n$ entier naturel) le nombre de milliers d'habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l'année $2000+n$. On a donc $X_{0}=60$.

On admet que pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}=0,05X_{n}+66,5$.

On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n}=X_{n} - 70$.

1. Prouver que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

2. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $X_{n}=70 - 10 \times 0,05^{n}$.

   Est-il possible que, durant une année, le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région