Exercice non corrigéDans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d'habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage.
On admet que :
- si une année un habitant pratique le co-voiturage, l'année suivante il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale à 0,6 ;
- si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l'année suivante il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale à 0,35.
Première partie
On note C l'état « pratiquer le co-voiturage » et V l'état « se déplacer seul dans sa voiture ».
- Dessiner un graphe probabiliste de sommets C et V qui modélise la situation aléatoire décrite.
- En considérant C et V dans cet ordre, en ligne, la matrice de transition associée à ce graphe est
M=\begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \\ 0,35 & 0,65 \end{pmatrix}
Vérifier que l'état stable du système correspond à la matrice ligne \left(70 \quad 120\right).
En donner une interprétation.
Deuxième partie
En 2000, 60 milliers d'habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d’habitants se déplaçaient seuls dans leur voiture.
On appelle X_{n} (n entier naturel) le nombre de milliers d’habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l’année 2000+n. On a donc X_{0}=60.
On admet que pour tout entier naturel n, X_{n+1}=0,05X_{n}+66,5.
On considère la suite \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} définie pour tout entier naturel n par u_{n}=X_{n}-70.
- Prouver que la suite \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
- Montrer que pour tout entier naturel n, X_{n}=70-10 \times 0,05^{n}.
Est-il possible que, durant une année, le nombre d’habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région ?