Division euclidienne d'entiers négatifs

Corrigé

1. On commence par effectuer (en la posant comme au primaire...) la division euclidienne de 1564 par 121.
   Le quotient est 12 et le reste 112.
   Donc :
   1564 = 121\times 12+112
   Par conséquent : -1564 = -121\times 12-112
   Mais -112 ne peut être le reste de la division euclidienne de -1564 par 121 car il n'est pas positif ou nul.
   L'astuce consiste alors à écrire 112=121-9 donc :
   -1564 = -121\times 12-121+9
   et en mettant 121 en facteur :
   -1564 = -121\times \left(12+1\right)+9=-121\times 13+9=121\times \left(-13\right)+9 et on a bien 0\leqslant 9 < 121
   Le quotient de la division euclidienne de -1564 par 121 est donc -13 et le reste 9.
2. 1564 = 121\times 12+112, donc :
   1564 = -121\times \left(-12\right)+112 et 112 est bien le reste puisque 0\leqslant 112 < |-121|
   Le quotient et le reste de la division euclidienne de 1564 par -121 sont donc respectivement -12 et 112
3. On utilise le résultat du 1.
   -1564 = -121\times 13+9
   Comme 0\leqslant 9 < |-121|, le quotient et le reste de la division euclidienne de -1564 par -121 sont donc respectivement 13 et 9.