Division euclidienne d'entiers négatifs

Corrigé

On commence par effectuer (en la posant comme au primaire…) la division euclidienne de 1564 par 121.
Le quotient est $12$ et le reste $112$ .
Donc :
$1564 = 121\times 12+112$
Par conséquent : $-1564 = -121\times 12-112$
Mais -112 ne peut être le reste de la division euclidienne de -1564 par 121 car il n’est pas positif ou nul.
L’astuce consiste alors à écrire 112=121-9 donc :
$-1564 = -121\times 12-121+9$
et en mettant 121 en facteur :
$-1564 = -121\times \left(12+1\right)+9=-121\times 13+9=121\times \left(-13\right)+9$ et on a bien $0\leqslant 9 < 121$
Le quotient de la division euclidienne de -1564 par 121 est donc -13 et le reste 9.
$1564 = 121\times 12+112$ , donc :
$1564 = -121\times \left(-12\right)+112$ et $112$ est bien le reste puisque $0\leqslant 112 < |-121|$
Le quotient et le reste de la division euclidienne de 1564 par -121 sont donc respectivement -12 et 112
On utilise le résultat du 1.
$-1564 = -121\times 13+9$
Comme $0\leqslant 9 < |-121|$ , le quotient et le reste de la division euclidienne de -1564 par -121 sont donc respectivement 13 et 9.