Décomposer un entier en produit de facteurs premiers
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D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier $ n>1 $ se décompose de manière unique (à l'ordre près) sous la forme :
où les $ p_{i} $ sont des nombres premiers distincts.
- Étape 1 : tester la divisibilité de $ n $ par les nombres premiers dans l'ordre croissant : 2, 3, 5, 7, 11, 13...
- Étape 2 : à chaque fois qu'un facteur premier $ p $ divise $ n $, le noter et remplacer $ n $ par $ n\div p $.
- Étape 3 : recommencer avec le quotient jusqu'à obtenir un quotient égal à $ 1 $.
- Étape 4 : écrire la décomposition en regroupant les facteurs premiers identiques sous forme de puissances.
Remarque
Pour organiser la recherche, on dresse un tableau à deux colonnes : à gauche les quotients successifs, à droite les facteurs premiers utilisés.
On peut s'arrêter dès que le quotient est lui-même premier (et inférieur à son carré).
Décomposer 504
Étape 1 : $ 504 $ est pair, donc divisible par $ 2 $.
| Quotient | Facteur premier |
| 504 | 2 |
| 252 | 2 |
| 126 | 2 |
| 63 | 3 |
| 21 | 3 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Étape 2 : on divise successivement par $ 2 $ tant que c'est possible : $ 504\div 2=252 $, $ 252\div 2=126 $, $ 126\div 2=63 $.
Étape 3 : $ 63 $ n'est pas divisible par $ 2 $. La somme de ses chiffres est $ 6+3=9 $, donc $ 63 $ est divisible par $ 3 $ : $ 63\div 3=21 $, puis $ 21\div 3=7 $.
Étape 4 : $ 7 $ est premier, donc $ 7\div 7=1 $. La décomposition se termine.
On regroupe les facteurs identiques :
Décomposer 1\,001
On teste les nombres premiers dans l'ordre.
Étape 1 : $ 1\,001 $ est impair (pas divisible par $ 2 $). La somme de ses chiffres est $ 1+0+0+1=2 $, donc il n'est pas divisible par $ 3 $. Il ne se termine ni par $ 0 $ ni par $ 5 $, donc pas divisible par $ 5 $.
Étape 2 : on essaie $ 7 $ : $ 1\,001=7\times 143 $.
Étape 3 : on continue avec $ 143 $. Il n'est pas divisible par $ 7 $ (car $ 7\times 20=140 $ et $ 143 - 140=3 $). On essaie $ 11 $ : $ 143=11\times 13 $.
Étape 4 : $ 13 $ est premier, on s'arrête.
Remarque
Une fois la décomposition obtenue, on peut en déduire :
- le nombre de diviseurs de $ n $ : si $ n=p_{1}^{a_{1}}\times \cdots \times p_{k}^{a_{k}} $, alors $ n $ admet $ \left(a_{1}+1\right)\times \cdots \times \left(a_{k}+1\right) $ diviseurs ;
- le PGCD de deux entiers (en prenant les facteurs communs avec le plus petit exposant) ;
- le PPCM de deux entiers (en prenant tous les facteurs avec le plus grand exposant).
Par exemple, $ 504=2^{3}\times 3^{2}\times 7 $ admet $ \left(3+1\right)\times \left(2+1\right)\times \left(1+1\right)=24 $ diviseurs.
Attention
Ne pas oublier de tester les facteurs premiers dans l'ordre croissant et plusieurs fois le même : $ 504 $ est divisible par $ 2 $ trois fois de suite.
Une fois qu'un nombre premier $ p $ ne divise plus le quotient courant, il est inutile de le retester par la suite : on passe au suivant.
Pour montrer qu'un quotient $ q $ obtenu en cours de route est premier (et donc terminer la décomposition), il suffit de vérifier qu'il n'admet aucun diviseur premier inférieur ou égal à $ \sqrt{q} $.