Nombres complexes - Bac S Pondichéry 2017

Exercice 2

(3 points) – Commun à tous les candidats

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $(O~;~\vec{u};~\vec{v})$ .

On considère l’équation
$(E) :\qquad z^2-6z+c = 0$
où $c$ est un réel strictement supérieur à $9$ .
1. Justifier que $(E)$ admet deux solutions complexes non réelles.
2. Justifier que les solutions de $(E)$ sont $z_{A} = 3+\text{i}\sqrt{c-9}$ et $z_{B} = 3-\text{i}\sqrt{c-9}$ .
On note $A$ et $B$ les points d’affixes respectives $z_{A}$ et $z_{B}$ .
Justifier que le triangle $OAB$ est isocèle en $O$ .
Démontrer qu’il existe une valeur du réel $c$ pour laquelle le triangle $OAB$ est rectangle et déterminer cette valeur.

1. Le discriminant de l’équation est :
  $\Delta = b^2-4ac=36-4c = 4(9-c)$
  Ce discriminant est strictement négatif puisque $c > 9$ .
  L’équation $(E)$ admet donc deux solutions complexes non réelles conjuguées.
2. $z_1=\dfrac{-b+\text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$
  $z_1=\dfrac{6+2\text{i}\sqrt{c-9}}{2}$
  $z_1=3+\text{i}\sqrt{c-9}=z_A$
  
  $z_2=\overline{z_1}$
  $z_2=3-\text{i}\sqrt{c-9}=z_B$
$OA=\left|z_A \right|$
$OB=\left|z_B \right|=\left|z_A \right|$ car deux nombres complexes conjugués ont les mêmes modules.
Le triangle $OAB$ est donc isocèle en $O$ .
Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont orthogonaux.
Les coordonnées de $\overrightarrow{OA}$ sont $\begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{c-9} \end{pmatrix}$ .
Les coordonnées de $\overrightarrow{OB}$ sont $\begin{pmatrix} 3 \\ -\sqrt{c-9} \end{pmatrix}$ .
Les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Or :
$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=3\times 3+\sqrt{c-9}\times(-\sqrt{c-9})$
$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=9-(c-9)=18-c$
Le triangle $OAB$ est donc rectangle en $O$ si et seulement si $c=18$