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Terminale S

assez facileExercice corrigé

Nombres complexes - Bac S Pondichéry 2017

Exercice 2

(3 points) - Commun à tous les candidats

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (O~;~\vec{u};~\vec{v}).

  1. On considère l'équation
    (E) :\qquad z^2-6z+c = 0

    où c est un réel strictement supérieur à 9.

    1. Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.
    2. Justifier que les solutions de (E) sont z_{A} = 3+\text{i}\sqrt{c-9} et z_{B} = 3-\text{i}\sqrt{c-9}.
  2. On note A et B les points d'affixes respectives z_{A} et z_{B}.
    Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.
  3. Démontrer qu'il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.

Corrigé

    1. Le discriminant de l'équation est :
      \Delta = b^2-4ac=36-4c = 4(9-c)
      Ce discriminant est strictement négatif puisque c > 9.
      L'équation (E) admet donc deux solutions complexes non réelles conjuguées.
    2. z_1=\dfrac{-b+\text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}
      z_1=\dfrac{6+2\text{i}\sqrt{c-9}}{2}
      z_1=3+\text{i}\sqrt{c-9}=z_A
       
      z_2=\overline{z_1}
      z_2=3-\text{i}\sqrt{c-9}=z_B
  1. OA=\left|z_A \right|
    OB=\left|z_B \right|=\left|z_A \right| car deux nombres complexes conjugués ont les mêmes modules.
    Le triangle OAB est donc isocèle en O.
  2. Le triangle OAB est rectangle en O si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OB} sont orthogonaux.
    Les coordonnées de \overrightarrow{OA} sont \begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{c-9} \end{pmatrix}.
    Les coordonnées de \overrightarrow{OB} sont \begin{pmatrix} 3 \\ -\sqrt{c-9} \end{pmatrix}.
    Les vecteurs \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OB} sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
    Or :
    \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=3\times 3+\sqrt{c-9}\times(-\sqrt{c-9})
    \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=9-(c-9)=18-c
    Le triangle OAB est donc rectangle en O si et seulement si c=18
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Bac S Pondichéry 2017

  • Exercice 2 : Nombres complexes - Bac S Pondichéry 2017
  • Exercice 5 : Géométrie dans l'espace - Bac S Pondichéry 2017

Dans ce chapitre...

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