Exercice 2
(3 points) - Commun à tous les candidats
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (O~;~\vec{u};~\vec{v}).
- On considère l'équation(E) :\qquad z^2-6z+c = 0
où c est un réel strictement supérieur à 9.
- Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.
- Justifier que les solutions de (E) sont z_{A} = 3+\text{i}\sqrt{c-9} et z_{B} = 3-\text{i}\sqrt{c-9}.
- On note A et B les points d'affixes respectives z_{A} et z_{B}.
Justifier que le triangle OAB est isocèle en O. - Démontrer qu'il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.
Corrigé
- Le discriminant de l'équation est :
\Delta = b^2-4ac=36-4c = 4(9-c)
Ce discriminant est strictement négatif puisque c > 9.
L'équation (E) admet donc deux solutions complexes non réelles conjuguées. - z_1=\dfrac{-b+\text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}
z_1=\dfrac{6+2\text{i}\sqrt{c-9}}{2}
z_1=3+\text{i}\sqrt{c-9}=z_A
z_2=\overline{z_1}
z_2=3-\text{i}\sqrt{c-9}=z_B
- Le discriminant de l'équation est :
- OA=\left|z_A \right|
OB=\left|z_B \right|=\left|z_A \right| car deux nombres complexes conjugués ont les mêmes modules.
Le triangle OAB est donc isocèle en O. - Le triangle OAB est rectangle en O si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OB} sont orthogonaux.
Les coordonnées de \overrightarrow{OA} sont \begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{c-9} \end{pmatrix}.
Les coordonnées de \overrightarrow{OB} sont \begin{pmatrix} 3 \\ -\sqrt{c-9} \end{pmatrix}.
Les vecteurs \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OB} sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Or :
\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=3\times 3+\sqrt{c-9}\times(-\sqrt{c-9})
\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=9-(c-9)=18-c
Le triangle OAB est donc rectangle en O si et seulement si c=18