Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2017

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct $ (O~;~\vec{u};~\vec{v}) $.

On considère l'équation

$ (E) :\qquad z^2 - 6z+c = 0 $

où $ c $ est un réel strictement supérieur à $ 9 $.
1. Justifier que $ (E) $ admet deux solutions complexes non réelles.
2. Justifier que les solutions de $ (E) $ sont $ z_{A} = 3+\text{i}\sqrt{c - 9} $ et $ z_{B} = 3 - \text{i}\sqrt{c - 9} $.
On note $ A $ et $ B $ les points d'affixes respectives $ z_{A} $ et $ z_{B} $.

Justifier que le triangle $ OAB $ est isocèle en $ O $.
Démontrer qu'il existe une valeur du réel $ c $ pour laquelle le triangle $ OAB $ est rectangle et déterminer cette valeur.

Corrigé

1. Le discriminant de l'équation est :
  
  $ \Delta = b^2 - 4ac=36 - 4c = 4(9 - c) $
  
  Ce discriminant est strictement négatif puisque $ c > 9 $.
  
  L'équation $ (E) $ admet donc deux solutions complexes non réelles conjuguées.
2. $ z_1=\dfrac{ - b+\text{i}\sqrt{ - \Delta}}{2a} $
  
  $ z_1=\dfrac{6+2\text{i}\sqrt{c - 9}}{2} $
  
  $ z_1=3+\text{i}\sqrt{c - 9}=z_A $
  
  $ z_2=\overline{z_1} $
  
  $ z_2=3 - \text{i}\sqrt{c - 9}=z_B $
$ OA=\left|z_A \right| $

$ OB=\left|z_B \right|=\left|z_A \right| $ car deux nombres complexes conjugués ont les mêmes modules.

Le triangle $ OAB $ est donc isocèle en $ O $.
Le triangle $ OAB $ est rectangle en $ O $ si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{OA} $ et $ \overrightarrow{OB} $ sont orthogonaux.

Les coordonnées de $ \overrightarrow{OA} $ sont $ \begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{c - 9} \end{pmatrix} $.

Les coordonnées de $ \overrightarrow{OB} $ sont $ \begin{pmatrix} 3 \\ - \sqrt{c - 9} \end{pmatrix} $.

Les vecteurs $ \overrightarrow{OA} $ et $ \overrightarrow{OB} $ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Or :

$ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=3\times 3+\sqrt{c - 9}\times( - \sqrt{c - 9}) $

$ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=9 - (c - 9)=18 - c $

Le triangle $ OAB $ est donc rectangle en $ O $ si et seulement si $ c=18 $