Nombres complexes et probabilités

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; \vec{u} , \vec{v} ).

Une urne contient trois boules indiscernables au toucher marquées 1, 2, 3. Une épreuve consiste à prélever une première boule de l’urne dont le numéro sera noté a puis, sans la remettre dans l’urne, une seconde boule dont le numéro sera noté b.
Au résultat(a ; b) du tirage, on associe l’application du plan complexe dans lui-même qui à tout point M d’affixe z fait correspondre le point M^\prime d’affixe z^\prime tel que z^\prime= \alpha z avec \alpha = \frac{a}{2} e^{ib \frac{ \pi }{3} }.

1. Quels sont les résultats (a ; b) possibles ? Quelles sont les valeurs de \alpha correspondantes ?
2. Soit A le point d’affixe z_0= \sqrt{3} + i et A^\prime le point d’affixe z_0^\prime = \alpha z_0image de A par l’application associée au résultat d’une épreuve. Calculer le module et l’ argument de z_0 et ceux de z^\prime_0 suivant les valeurs de (a ; b).
3. Calculer la probabilité de l’événement E_1 : O, A et A^\prime sont alignés puis celle de l’événement E_2 :z^\prime_0 est un imaginaire pur.
4. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque épreuve, associe le module de z^\prime_0. Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.