Calculer une puissance de matrice
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Pour calculer $ A^n $ où $ A $ est une matrice carrée et $ n $ un entier naturel :
- Étape 1 : si $ n $ est petit, calculer directement $ A^2 = A \times A $, puis $ A^3 = A^2 \times A $, etc.
- Étape 2 : si $ n $ est quelconque, calculer les premières puissances $ A^1, A^2, A^3, A^4 $ et chercher une formule générale (conjecture) en observant la régularité.
- Étape 3 : démontrer la formule conjecturée par récurrence sur $ n $.
Remarque
Par convention, $ A^0 = I_n $ (matrice unité de même taille que $ A $) et $ A^1 = A $. Les règles $ A^p \times A^q = A^{p+q} $ et $ \left(A^p\right)^q = A^{pq} $ restent valables comme pour les nombres réels — mais uniquement parce qu'on multiplie une matrice par elle-même (le produit n'est pas commutatif en général).
Calcul direct de $ A^3 $
On considère $ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $.
Étape 1 : on calcule $ A^2 = A \times A $.
Étape 2 : on calcule $ A^3 = A^2 \times A $.
Détail : $ 4 \times 2 + 1 \times 0 = 8 $, $ 4 \times 1 + 1 \times (-1) = 3 $, $ 0 \times 2 + 1 \times 0 = 0 $ et $ 0 \times 1 + 1 \times (-1) = -1 $.
Conjecture puis démonstration par récurrence
On considère la matrice $ B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $ et on cherche $ B^n $ pour tout entier $ n \geqslant 1 $.
Étape 1 : on calcule les premières puissances.
Étape 2 : on conjecture la formule générale :
Étape 3 : démonstration par récurrence sur $ n $.
Initialisation : pour $ n = 1 $, $ B^1 = B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $, ce qui correspond bien à la formule.
Hérédité : supposons que $ B^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $ pour un certain entier $ n \geqslant 1 $. Alors :
La propriété est donc héréditaire, et par récurrence elle est vraie pour tout entier $ n \geqslant 1 $.
Attention
Erreurs fréquentes :
- écrire $ A^2 = \begin{pmatrix} a^2 & b^2 \\ c^2 & d^2 \end{pmatrix} $ : c'est faux, on ne met pas chaque coefficient au carré ;
- développer $ \left(A + B\right)^2 = A^2 + 2AB + B^2 $ sans précaution : c'est faux en général car $ AB \neq BA $ ;
- oublier l'étape de démonstration par récurrence après avoir conjecturé une formule : sans preuve, la formule n'est pas établie.