QCM : Chaînes de Markov et matrice de transition
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Ce QCM porte sur les chaînes de Markov et leur application aux probabilités. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Soit $P$ la matrice de transition d'une chaîne de Markov à $p$ états. Quelle propriété est toujours vérifiée par les coefficients de $P$ ?
- (Incorrect) Tous les coefficients sont strictement positifs.
- (Correct) La somme des coefficients de chaque ligne vaut $1$.
- (Incorrect) La somme des coefficients de chaque colonne vaut $1$.
- (Incorrect) La somme totale des coefficients vaut $1$.
Question 2 : On modélise les déplacements d'un robot entre deux pièces $A$ et $B$ : depuis $A$, il reste en $A$ avec probabilité $0{,}3$ et passe en $B$ avec probabilité $0{,}7$. Depuis $B$, il reste en $B$ avec probabilité $0{,}9$ et passe en $A$ avec probabilité $0{,}1$. Quelle est la matrice de transition (lignes et colonnes dans l'ordre $A$, $B$) ?
- (Correct) $\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}7 \\ 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}1 \\ 0{,}7 & 0{,}9 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}9 & 0{,}1 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}9 \\ 0{,}1 & 0{,}7 \end{pmatrix}$
Question 3 : Soit $X = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ une distribution. Quelle propriété doit nécessairement être vérifiée ?
- (Incorrect) $a = b$
- (Incorrect) $a \times b = 1$
- (Correct) $a + b = 1$ et $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$
- (Incorrect) $a$ et $b$ sont entiers
Question 4 : On a $P = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ et $X_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ (état $1$ certain au départ). Que vaut $X_1$ ?
- (Correct) $\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}2 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}$
Question 5 : Pour une chaîne de Markov de matrice de transition $P$ et de distribution initiale $X_0$, quelle formule donne la distribution $X_n$ ?
- (Incorrect) $X_n = P^n\,X_0$
- (Correct) $X_n = X_0\,P^n$
- (Incorrect) $X_n = X_0 + P^n$
- (Incorrect) $X_n = n\,X_0\,P$
Question 6 : Une chaîne de Markov a pour matrice de transition $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (matrice identité). Que peut-on en déduire ?
- (Correct) Chaque état est absorbant : la chaîne reste indéfiniment dans son état initial.
- (Incorrect) Tous les états sont équivalents : la chaîne se stabilise sur la moitié de chaque état.
- (Incorrect) La chaîne ne peut pas exister.
- (Incorrect) La chaîne diverge à long terme.