Mettre un nombre complexe sous forme algébrique
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Mettre un nombre complexe sous forme algébrique, c'est l'écrire sous la forme $ a+ib $ avec $ a $ et $ b $ deux réels, afin d'identifier sans ambiguïté sa partie réelle et sa partie imaginaire.
- Étape 1 : Reconnaître la nature de l'expression (somme, différence, produit, quotient).
- Étape 2 : Effectuer les calculs en traitant $ i $ comme un réel, puis remplacer chaque $ i^{2} $ par $ -1 $.
- Étape 3 : Pour un quotient, multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur afin de rendre celui-ci réel.
- Étape 4 : Regrouper la partie réelle et la partie imaginaire pour obtenir l'écriture $ a+ib $.
Produit de deux nombres complexes
Mettre $ z=\left(3+2i\right)\left(1-i\right) $ sous forme algébrique.
Étape 1 : Il s'agit d'un produit, on développe.
$ z=3\times 1+3\times \left(-i\right)+2i\times 1+2i\times \left(-i\right) $
$ z=3-3i+2i-2i^{2} $
Étape 2 : On remplace $ i^{2} $ par $ -1 $.
$ z=3-3i+2i-2\times \left(\color{red}{-1}\color{black}\right) $
$ z=3-3i+2i+2 $
Étape 3 : On regroupe partie réelle et partie imaginaire.
La partie réelle est $ 5 $ et la partie imaginaire est $ -1 $.
Quotient de deux nombres complexes
Mettre $ z=\dfrac{4+3i}{1+2i} $ sous forme algébrique.
Étape 1 : Le dénominateur est $ 1+2i $, son conjugué est $ 1-2i $. On multiplie numérateur et dénominateur par $ 1-2i $.
$ z=\dfrac{\left(4+3i\right)\left(1-2i\right)}{\left(1+2i\right)\left(1-2i\right)} $
Étape 2 : On développe le numérateur :
$ \left(4+3i\right)\left(1-2i\right)=4-8i+3i-6i^{2}=4-5i+6=10-5i $
Et le dénominateur (de la forme $ \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2} $) :
$ \left(1+2i\right)\left(1-2i\right)=1-\left(2i\right)^{2}=1-4i^{2}=1+4=\color{red}{5}\color{black} $
Étape 3 : On simplifie :
La partie réelle est $ 2 $ et la partie imaginaire est $ -1 $.
Remarque
Pour rendre un dénominateur réel, on utilise toujours l'identité remarquable $ \left(a+ib\right)\left(a-ib\right)=a^{2}+b^{2} $. Le résultat est un réel positif égal au carré du module.
Attention
Ne jamais écrire $ \sqrt{-1} $ pour désigner $ i $ : la fonction racine carrée n'est pas définie sur les nombres complexes. Toujours utiliser $ i^{2}=-1 $.
Attention aussi à ne pas oublier de remplacer $ i^{2} $ par $ -1 $ : c'est l'erreur la plus fréquente lors d'un développement.