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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2016

Exercice 2 - 3 points

Commun à tous les candidats

L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O ; u,v)(O~;~\vec{u},\vec{v}), on considère le pentagone régulier A0A1A2A3A4A_0A_1A_2A_3A_4, de centre OO tel que OA0=u\overrightarrow{OA_0} = \vec{u}.

pentagone régulier

On rappelle que dans le pentagone régulier A0A1A2A3A4A_0A_1A_2A_3A_4, ci-dessus :

  1. On considère les points BB d'affixe 1 - 1 et JJ d'affixe i2\frac{i}{2}.

    Le cercle (C)(\mathscr{C}) de centre JJ et de rayon 12\dfrac{1}{2} coupe le segment [BJ][BJ] en un point KK.

    Calculer BJBJ, puis en déduire BKBK.

    1. Donner sous forme exponentielle l'affixe du point A2A_2. Justifier brièvement.

    2. Démontrer que BA22=2+2cos(4π5)B{A_2}^{2} = 2+ 2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right).

    3. Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification :

      1.cos(4*pi/5)
      14(51) \to \dfrac{1}{4}\left( - \sqrt{5} - 1\right)
      2. sqrt((3-sqrt(5))/2)
      12(51)\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)

      "sqrt" signifie "racine carrée"

      En déduire, grâce à ces résultats, que BA2=BKBA_2 = BK.

  2. Dans le repère (O ; u,v)(O~;~\vec{u},\vec{v}) donné ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

    pentagone régulier

Corrigé

  1. Rappel

    Pour deux points A(zA)A(z_A) et B(zB)B(z_B), la longueur ABAB est égale à zBzA\left|z_B - z_A\right|

    BJ=zJzBBJ = \left|z_J - z_B\right|

    BJ=i2+1\phantom{BJ }= \left|\frac{i}{2}+1\right|

    BJ=1+14\phantom{BJ }= \sqrt{1+\frac{1}{4}}

    BJ=54=52\phantom{BJ }= \sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}

    pentagone régulier

    Les points B,KB, K et JJ étant alignés dans cet ordre :

    BK=BJKJBK=BJ - KJ

    BK=5212\phantom{BK}=\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} car KJKJ est un rayon du cercle C\mathscr C

    BK=512\phantom{BK}=\frac{\sqrt{5} - 1}{2}

    1. Notons z2z_2 l'affixe du point A2A_2.

      Comme A2A_2 est situé sur le cercle trigonométrique, z2=1|z_2|=1 .

      Un argument de z2z_2 est une mesure de l'angle orienté (u,OA2)(\vec{u}, \overrightarrow{OA_2}).

      D'après la relation de Chasles sur les angles orientés :

      (u,OA2)=(u,OA1)+(OA1,OA2)(\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=(\vec{u}, \overrightarrow{OA_1})+(\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2})

      (u,OA2)=2π5+2π5[2π](\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=\frac{2\pi}{5}+\frac{2\pi}{5} \quad [2\pi]

      (u,OA2)=4π5[2π](\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=\frac{4\pi}{5} \quad [2\pi]

      La forme exponentielle de z2z_2 est donc z2=ei4π5z_2=e^{i \frac{4\pi}{5}}

    2. Par conséquent :

      z2=cos(4π5)+isin(4π5)z_2=\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right)

      BA22=z2(1)2B{A_2}^2=\left|z_2 - ( - 1) \right|^2

      BA22=1+cos(4π5)+isin(4π5)2\phantom{B{A_2}^2}=\left|1+\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right) \right|^2

      BA22=(1+cos(4π5))2+(sin(4π5))2\phantom{B{A_2}^2}=\left(1+\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)\right)^2+\left(\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right) \right)^2

      BA22=1+2cos(4π5)+cos2(4π5)+sin2(4π5)\phantom{B{A_2}^2}=1+2\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)+\cos^2\left(\frac{4\pi}{5}\right)+\sin^2\left(\frac{4\pi}{5}\right)

      BA22=2+2cos(4π5)\phantom{B{A_2}^2}=2+2\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)\quad car cos2(4π5)+sin2(4π5)=1\cos^2\left(\frac{4\pi}{5}\right)+\sin^2\left(\frac{4\pi}{5}\right)=1

    3. D'après le logiciel de calcul formel (ligne 1) : cos(4π5)=14(51)\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)= \frac{1}{4}\left( - \sqrt{5} - 1\right).

      Donc :

      BA22=2+2×14(51)B{A_2}^2=2+2 \times \frac{1}{4}\left( - \sqrt{5} - 1\right)

      BA22=42+512\phantom{B{A_2}^2}=\frac{4}{2}+\frac{ - \sqrt{5} - 1}{2}

      BA22=352\phantom{B{A_2}^2}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}

      et d'après le logiciel de calcul formel (ligne 2) : 352=512\sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} .

      Par conséquent BA2=512=BKBA_2=\frac{\sqrt{5} - 1}{2}=BK.

  2. Dans la suite, on note II le point d'affixe ii. 1ère étape : Construction du milieu JJ de [OI][OI].

    On construit au compas la médiatrice du segment [OI][OI]. Cette droite coupe l'axe des ordonnées en JJ.

    pentagone régulier

    2ème étape : Construction du point KK

    On trace le cercle de centre JJ et de rayon [OJ][OJ].

    Ce cercle coupe le segment [BJ][BJ] en KK.

    pentagone régulier

    3ème étape : Construction des points A2A_2 et A3A_3

    On reporte la longueur [BK][BK] de part et d'autre du point BB sur le cercle trigonométrique.

    On obtient alors les points A2A_2 et A3A_3 (car d'après la question précédente BA2=BKBA_2=BK et A2A_2 et A3A_3 sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses).

    pentagone régulier

    4ème étape : Tracé du pentagone

    Le segment [A2A3][A_2A_3] est un côté du pentagone. On complète la construction en reportant plusieurs fois la longueur A2A3A_2A_3 sur le cercle trigonométrique.

    pentagone régulier