Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2016

L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $ (O~;~\vec{u},\vec{v}) $, on considère le pentagone régulier $ A_0A_1A_2A_3A_4 $, de centre $ O $ tel que $ \overrightarrow{OA_0} = \vec{u} $.

On rappelle que dans le pentagone régulier $ A_0A_1A_2A_3A_4 $, ci-dessus :

$ A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3 $ et $ A_4 $appartiennent au cercle trigonométrique ;
$ k $ appartenant à $ \{0~;~1~;~2~;~3\} $ on a $ \left(\overrightarrow{OA_k}~;~\overrightarrow{OA}_{k+1}\right) = \dfrac{2\pi}{5} $.

On considère les points $ B $ d'affixe $ - 1 $ et $ J $ d'affixe $ \dfrac{i}{2} $.

Le cercle $ (\mathscr{C}) $ de centre $ J $ et de rayon $ \dfrac{1}{2} $ coupe le segment $ [BJ] $ en un point $ K $.

Calculer $ BJ $, puis en déduire $ BK $.

Donner sous forme exponentielle l'affixe du point $ A_2 $. Justifier brièvement.
Démontrer que $ B{A_2}^{2} = 2+ 2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right) $.

Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification :

1.	*cos(4pi/5)**
		$ \to \dfrac{1}{4}\left( - \sqrt{5} - 1\right) $
2.	sqrt((3-sqrt(5))/2) $ $
		$ \to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right) $

"sqrt" signifie "racine carrée"

En déduire, grâce à ces résultats, que $ BA_2 = BK $.

Dans le repère $ (O~;~\vec{u},\vec{v}) $ donné ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

Corrigé

Rappel

Pour deux points $ A(z_A) $ et $ B(z_B) $, la longueur $ AB $ est égale à $ \left|z_B - z_A\right| $.

$ BJ = \left|z_J - z_B\right| $

$ \phantom{BJ }= \left|\dfrac{i}{2}+1\right| $

$ \phantom{BJ }= \sqrt{1+\dfrac{1}{4}} $

$ \phantom{BJ }= \sqrt{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2} $

Les points $ B, K $ et $ J $ étant alignés dans cet ordre :

$ BK=BJ - KJ $

$ \phantom{BK}=\dfrac{\sqrt{5}}{2} - \dfrac{1}{2} $ car $ KJ $ est un rayon du cercle $ \mathscr C $

$ \phantom{BK}=\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} $
1. Notons $ z_2 $ l'affixe du point $ A_2 $.
  
  Comme $ A_2 $ est situé sur le cercle trigonométrique, $ |z_2|=1 $.
  
  Un argument de $ z_2 $ est une mesure de l'angle orienté $ (\vec{u}, \overrightarrow{OA_2}) $.
  
  D'après la relation de Chasles sur les angles orientés :
  
  $ (\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=(\vec{u}, \overrightarrow{OA_1})+(\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}) $
  
  $ (\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=\dfrac{2\pi}{5}+\dfrac{2\pi}{5} \quad [2\pi] $
  
  $ (\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=\dfrac{4\pi}{5} \quad [2\pi] $
  
  La forme exponentielle de $ z_2 $ est donc $ z_2=e^{i \frac{4\pi}{5}} $
2. Par conséquent :
  
  $ z_2=\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) $
  
  $ B{A_2}^2=\left|z_2 - ( - 1) \right|^2 $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=\left|1+\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) \right|^2 $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=\left(1+\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\right)^2+\left(\sin\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) \right)^2 $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=1+2\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+\cos^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+\sin^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=2+2\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\quad $ car $ \cos^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+\sin^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)=1 $
3. D'après le logiciel de calcul formel (ligne 1) : $ \cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)= \dfrac{1}{4}\left( - \sqrt{5} - 1\right) $.
  
  Donc :
  
  $ B{A_2}^2=2+2 \times \dfrac{1}{4}\left( - \sqrt{5} - 1\right) $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=\dfrac{4}{2}+\dfrac{ - \sqrt{5} - 1}{2} $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} $
  
  et d'après le logiciel de calcul formel (ligne 2) : $ \sqrt{\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} $.
  
  Par conséquent $ BA_2=\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}=BK $.
Dans la suite, on note $ I $ le point d'affixe $ i $. 1ère étape : Construction du milieu $ J $ de $ [OI] $.

On construit au compas la médiatrice du segment $ [OI] $. Cette droite coupe l'axe des ordonnées en $ J $.

2ème étape : Construction du point $ K $

On trace le cercle de centre $ J $ et de rayon $ [OJ] $.

Ce cercle coupe le segment $ [BJ] $ en $ K $.

3ème étape : Construction des points $ A_2 $ et $ A_3 $

On reporte la longueur $ [BK] $ de part et d'autre du point $ B $ sur le cercle trigonométrique.

On obtient alors les points $ A_2 $ et $ A_3 $ (car d'après la question précédente $ BA_2=BK $ et $ A_2 $ et $ A_3 $ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses).

4ème étape : Tracé du pentagone

Le segment $ [A_2A_3] $ est un côté du pentagone. On complète la construction en reportant plusieurs fois la longueur $ A_2A_3 $ sur le cercle trigonométrique.