QCM : Suites couplées et récurrence matricielle
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Ce QCM porte sur les suites couplées et leur écriture matricielle. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : On considère le système $\begin{cases} u_{n+1} = u_n + 2\,v_n \\ v_{n+1} = -u_n + 3\,v_n \end{cases}$ avec $u_0 = 1$ et $v_0 = 1$. Que vaut le couple $\left(u_1, v_1\right)$ ?
- (Incorrect) $\left(2, 2\right)$
- (Correct) $\left(3, 2\right)$
- (Incorrect) $\left(1, 4\right)$
- (Incorrect) $\left(3, 3\right)$
Question 2 : Le système couplé $\begin{cases} u_{n+1} = 4\,u_n - v_n \\ v_{n+1} = 2\,u_n + v_n \end{cases}$ s'écrit $U_{n+1} = A\,U_n$ avec $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$. Quelle est la matrice $A$ ?
- (Correct) $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$
Question 3 : Soient $u_n$ et $v_n$ deux suites couplées et $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$. On a calculé $A^5\,U_0 = \begin{pmatrix} 12 \\ 7 \end{pmatrix}$ où $A$ est la matrice associée au système. Que vaut $u_5$ ?
- (Incorrect) $7$
- (Correct) $12$
- (Incorrect) $12 + 7 = 19$
- (Incorrect) Impossible à dire sans calculer $A^5$.
Question 4 : On définit $U_{n+1} = A\,U_n$ avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ (où $a$ et $b$ sont des réels quelconques). Que vaut $U_2$ ?
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} a \\ -b \end{pmatrix}$
- (Correct) $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} -a \\ b \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Question 5 : Pour calculer le terme $U_5$ d'une suite définie par $U_{n+1} = A\,U_n$ avec $U_0$ donné, quelle méthode est la plus efficace lorsque $A$ n'est pas diagonale ?
- (Correct) Itérer la relation : $U_1 = A\,U_0$, $U_2 = A\,U_1$, …, $U_5 = A\,U_4$.
- (Incorrect) Calculer $A^5$ d'abord, puis multiplier par $U_0$.
- (Incorrect) Diviser $U_0$ par $A$ cinq fois.
- (Incorrect) Élever $U_0$ à la puissance $5$.
Question 6 : Soit $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ deux suites couplées dont l'écriture matricielle est $U_{n+1} = A\,U_n$ avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Que vaut $U_3$ ?
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$
- (Correct) $\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}$