Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Nombres complexes et géométrie Exercices

Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2014

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectifs travaillés

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $.

Pour tout entier naturel $ n $, on note $ A_{n} $ le point d'affixe $ z_{n} $ défini par :

$ z_{0}=1 $   et   $ z_{n+1}=\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n} $

On définit la suite $ \left(r_{n}\right) $ par $ r_{n}=|z_{n}| $ pour tout entier naturel $ n $.

  1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe $ \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i $.
    1. Montrer que la suite $ \left(r_{n}\right) $ est géométrique de raison $ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
    2. En déduire l'expression de $ r_{n} $ en fonction de $ n $.
    3. Que dire de la longueur $ OA_{n} $ lorsque $ n $ tend vers $ + \infty $ ?

  3. On considère l'algorithme suivant :

    Variables $ n $ entier naturel
      $ R $ réel
      $ P $ réel strictement positif
    Entrée Demander la valeur de $ P $
    Traitement $ R $ prend la valeur $ 1 $
      $ n $ prend la valeur $ 0 $
      Tant que $ R > P $
      $ \quad \quad n $ prend la valeur $ n+1 $
      $ \quad \quad R $ prend la valeur $ \dfrac{\sqrt{3}}{2}R $
      Fin tant que
    Sortie Afficher $ n $
    1. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $ P=0{,}5 $ ?
    2. Pour $ P=0{,}01 $ on obtient $ n=33 $. Quel est le rôle de cet algorithme ?
    1. Démontrer que le triangle $ OA_{n}A_{n+1} $ est rectangle en $ A_{n+1} $.

    2. On admet que $ z_{n}=r_{n}e^{i\frac{n\pi }{6}} $.

      Déterminer les valeurs de $ n $ pour lesquelles $ A_{n} $ est un point de l'axe des ordonnées.

    3. Compléter la figure ci-dessous, à rendre avec la copie, en représentant les points $ A_{6}, A_{7}, A_{8} $ et $ A_{9} $.

      Les traits de construction seront apparents.

      Nombres complexes - Bac S Pondichéry 2014

Corrigé

  1. Soit $ r $ le module de $ \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i $ :

    $ r^2=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4} $

    Donc :

    $ r=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

    $ \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right) $

    Si $ \theta $ est un argument de $ \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i $ :

    $ \cos \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ et $ \sin \theta = \dfrac{1}{2} $ donc $ \theta = \dfrac{\pi }{6} + 2k\pi $.

    La forme exponentielle du nombre complexe $ \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i $ est donc $ \dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{i\frac{\pi }{6}} $

    1. $ z_{n+1}=\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n} $ donc :

      $ |z_{n+1}|=\left|\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right|\times \left|z_{n}\right| $

      $ r_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}r_{n} $

      La suite $ \left(r_{n}\right) $ est donc une suite géométrique de raison $ q=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ et de premier terme $ r_{0}=|z_{0}|=1 $.

    2. $ r_{n}=r_{0}\times q^{n}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n} $

    3. $ OA_{n}=r_{n} $.

      $ \left(r_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison $ q=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $. Comme $ 0 < q < 1 $ la suite $ \left(r_{n}\right) $ converge vers 0 lorsque $ n $ tend vers $ + \infty $ .

    1. Voici les valeurs prises par les variables lors de l'exécution pas à pas de l'algorithme pour $ P=0{,}5 $ :

      $ n $ $ R $ $ P $ condition $ R > P $
      0 1 0{,}5 Vraie
      1 0{,}866 0{,}5 Vraie
      2 0{,}75 0{,}5 Vraie
      3 0{,}6495 0{,}5 Vraie
      4 0{,}5625 0{,}5 Vraie
      5 0{,}487 0{,}5 Fausse

      À la fin, l'algorithme affiche la valeur $ 5 $.

    2. Cet algorithme affiche la plus petite valeur de $ n $ telle que $ OA_{n} \leqslant P $.

    1. $ OA_{n}=r_{n} , OA_{n+1}=r_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}r_{n} $ et :

      $ A_{n}A_{n+1}= | z_{n+1} - z_{n} | = \left| \left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n} - z_{n} \right| = \left| \left( - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) z_{n} \right| $

      $ A_{n}A_{n+1}= \left| \left( - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| \times r_{n} $

      Or :

      $ \left| \left( - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| ^{2} = \dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{1}{4} $

      donc $ \left| \left( - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| = \dfrac{1}{2} $ et $ A_{n}A_{n+1}=\dfrac{1}{2}r_{n} $

      Finalement :

      $ OA_{n+1}^{2} + A_{n}A_{n+1}^{2} = \dfrac{3}{4}r_{n}^{2}+\dfrac{1}{4}r_{n}^{2} = r_{n}^{2} = OA_{n}^{2} $

      Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ OA_{n}A_{n+1} $ est rectangle en $ A_{n+1} $.

    2. $ z_{n}=r_{n} \left(\cos\dfrac{n\pi }{6}+i \sin\dfrac{n\pi }{6}\right) $

      Le point $ A_{n} $ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si $ \cos\dfrac{n\pi }{6} = 0 $, c'est à dire $ \dfrac{n\pi }{6}=\dfrac{\pi }{2}+2k\pi $ ou $ n\dfrac{\pi }{6}=\left(3\dfrac{\pi }{2}\right)+2k\pi $ ou encore $ \dfrac{n\pi }{6}=\dfrac{\pi }{2} + k\pi $ avec $ k \in \mathbb{Z} $

      Or :

      $ \dfrac{n\pi }{6}=\dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow \left(n\pi \right)=3\pi + 6k\pi \Leftrightarrow n= 3 + 6k $ (avec $ k \in \mathbb{Z} $)

      Comme $ n\geqslant 0 $, $ k $ doit être positif ou nul (donc appartenir à $ \mathbb{N} $).

      Les valeurs de $ n $ pour lesquelles $ A_{n} $ est un point de l'axe des ordonnées sont donc

      $ n= 3 + 6k $ avec $ k \in \mathbb{N} $ (soit $ n = 3, 9, 15, 21, $ etc.).

    3. Nombres complexes - Bac S Pondichéry 2014 corrigé

      Pour la construction (à l'équerre ou au compas) on utilise le fait que les triangles $ OA_{n}A_{n+1} $ sont rectangles en $ A_{n+1} $.

→ Pour réviser : Déterminer la forme trigonométrique d'un nombre complexe