QCM : Écriture matricielle d’une suite
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Ce QCM porte sur l'écriture matricielle d'une suite de matrices colonnes définie par une relation $U_{n+1} = A\,U_n$. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Soit $\left(U_n\right)$ une suite de matrices colonnes telle que $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$. Quelle est la dimension de $U_n$ ?
- (Incorrect) $1 \times 1$
- (Incorrect) $1 \times 2$
- (Correct) $2 \times 1$
- (Incorrect) $2 \times 2$
Question 2 : Soient $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. La suite $\left(U_n\right)$ est définie par $U_{n+1} = A\,U_n$. Que vaut $U_1$ ?
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}$
- (Correct) $\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$
Question 3 : La suite $\left(U_n\right)$ est définie par $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et la relation $U_{n+1} = A\,U_n$ où $A$ est une matrice carrée d'ordre $2$. Quelle expression donne $U_n$ pour tout entier $n \geqslant 0$ ?
- (Incorrect) $U_n = n\,A\,U_0$
- (Incorrect) $U_n = A\,U_0^{n}$
- (Correct) $U_n = A^{n}\,U_0$
- (Incorrect) $U_n = A^{n} + U_0$
Question 4 : La suite $\left(U_n\right)$ vérifie $U_{n+1} = A\,U_n$ avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$. Que vaut $U_2$ ?
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$
- (Correct) $\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 8 \\ 8 \end{pmatrix}$
Question 5 : Le système couplé $\begin{cases} u_{n+1} = 3\,u_n + 2\,v_n \\ v_{n+1} = u_n - v_n \end{cases}$ s'écrit sous la forme matricielle $U_{n+1} = A\,U_n$ avec $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$. Quelle est la matrice $A$ ?
- (Correct) $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$
Question 6 : Soit $\left(U_n\right)$ vérifiant $U_{n+1} = A\,U_n$ avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. Que peut-on dire de la suite $\left(U_n\right)$ ?
- (Correct) Elle est constante égale à $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
- (Incorrect) Elle est nulle dès $n = 1$.
- (Incorrect) Elle tend vers $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.
- (Incorrect) Elle vérifie $U_n = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}$.