Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Système d'équation à 3 inconnues

  1. A la calculatrice, déterminer l'inverse de la matrice :

    A=(527213121)A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 7 \\ 2 & 1 & - 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

  2. Résoudre le système :

    {5x+2y+7z=22x+y3z=7x+2y+z=4\left\{ \begin{matrix} 5x+2y+7z=2 \\ 2x+y - 3z=7 \\ x+2y+z=4 \end{matrix}\right.

Corrigé

  1. A la calculatrice, on trouve que la matrice AA est inversible et :

    A1=(7/466/2313/465/461/2329/463/464/231/46)A^{ - 1}=\begin{pmatrix} 7/46 & 6/23 & - 13/46 \\ - 5/46 & - 1/23 & 29/46 \\ 3/46 & - 4/23 & 1/46 \end{pmatrix}

  2. Si l'on pose X=(xyz)X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} et B=(274)B=\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 4\end{pmatrix}, le système proposé est équivalent à :

    A×X=BA\times X=B

    Les solutions sont obtenues en calculant X=A1×BX=A^{ - 1}\times B (voir théorème) :

    X=A1×B=(7/466/2313/465/461/2329/463/464/231/46)×(274)=(121)X=A^{ - 1}\times B=\begin{pmatrix} 7/46 & 6/23 & - 13/46 \\ - 5/46 & - 1/23 & 29/46 \\ 3/46 & - 4/23 & 1/46\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ - 1\end{pmatrix}

    L'unique solution du système est donc le triplet (x;y;z)=(1;2;1)\left(x; y; z\right) = \left(1; 2; - 1\right)