Exercice corrigé- A la calculatrice, déterminer l’inverse de la matrice :
A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 7 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}
- Résoudre le système :
\left\{ \begin{matrix} 5x+2y+7z=2 \\ 2x+y-3z=7 \\ x+2y+z=4 \end{matrix}\right.
Corrigé
- A la calculatrice, on trouve que la matrice A est inversible et :
A^{-1}=\begin{pmatrix} 7/46 & 6/23 & -13/46 \\ -5/46 & -1/23 & 29/46 \\ 3/46 & -4/23 & 1/46 \end{pmatrix} - Si l’on pose X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} et B=\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 4\end{pmatrix}, le système proposé est équivalent à :
A\times X=B
Les solutions sont obtenues en calculant X=A^{-1}\times B (voir théorème) :
X=A^{-1}\times B=\begin{pmatrix} 7/46 & 6/23 & -13/46 \\ -5/46 & -1/23 & 29/46 \\ 3/46 & -4/23 & 1/46\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}
L’unique solution du système est donc le triplet \left(x; y; z\right) = \left(1; 2; -1\right)