Vrai/Faux : Suites récurrentes couplées

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que $\begin{cases} u_{n+1} = u_n - v_n \\ v_{n+1} = 2\,u_n + 3\,v_n \end{cases}$.

Affirmation : La matrice associée à l'écriture matricielle $U_{n+1} = A\,U_n$ est $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.

Affirmation : Si deux suites couplées $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ vérifient $u_0 = v_0$, alors elles restent égales pour tout $n$.

On considère $\begin{cases} u_{n+1} = u_n + v_n \\ v_{n+1} = u_n \end{cases}$ avec $u_0 = 1$, $v_0 = 0$.

Affirmation : La suite $\left(u_n\right)$ ainsi définie est la suite de Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$

Affirmation : Si $A$ est une matrice carrée d'ordre $2$ et $U_0$ une matrice colonne, alors $U_n = A^n\,U_0$ ne dépend pas de $A$ lorsque $U_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Affirmation : L'écriture matricielle d'un système couplé permet d'étudier la suite vectorielle $\left(U_n\right)$ via les puissances de la matrice $A$.

On définit $\begin{cases} u_{n+1} = 3\,u_n + v_n \\ v_{n+1} = -u_n + 3\,v_n \end{cases}$.

Affirmation : La suite $w_n = u_n + v_n$ vérifie une récurrence simple, indépendante de $u_n$ et $v_n$ pris séparément.