Écrire un système de suites couplées sous forme matricielle
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Soit deux suites $ \left(u_n\right) $ et $ \left(v_n\right) $ vérifiant un système couplé du type :
Pour écrire ce système sous forme matricielle :
- Étape 1 : écrire le système de manière à faire apparaître clairement les coefficients devant $ u_n $ et devant $ v_n $ sur chaque ligne.
- Étape 2 : poser le vecteur colonne $ U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} $ et la matrice $ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $ (les coefficients sont rangés ligne par ligne, dans l'ordre des inconnues).
- Étape 3 : conclure que $ U_{n+1} = A\,U_n $, vérifier en redéveloppant le produit matriciel et lire le vecteur initial $ U_0 = \begin{pmatrix} u_0 \\ v_0 \end{pmatrix} $.
Remarque
Une fois le système mis sous la forme $ U_{n+1} = A\,U_n $, on dispose de l'expression $ U_n = A^n\,U_0 $ : l'étude conjointe des deux suites se ramène au calcul des puissances de la seule matrice $ A $.
La méthode s'étend à trois suites couplées (matrice $ 3 \times 3 $) ou plus.
Système simple à deux suites
On considère les suites $ \left(u_n\right) $ et $ \left(v_n\right) $ définies par $ u_0 = 3 $, $ v_0 = -1 $ et :
Étape 1 : le système est déjà rangé dans l'ordre $ u_n $ puis $ v_n $ sur chaque ligne, avec les coefficients $ 2 $ et $ 1 $ sur la première ligne, $ -1 $ et $ 3 $ sur la seconde.
Étape 2 : on pose :
Étape 3 : vérification.
On a bien $ U_{n+1} = A\,U_n $, avec $ U_0 = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} $.
Système avec coefficients désordonnés
On considère les suites définies par $ u_0 = 5 $, $ v_0 = 2 $ et :
Étape 1 : on réécrit la première ligne dans l'ordre $ u_n $ puis $ v_n $ :
La seconde ligne contient un terme constant : on isole les coefficients de $ u_n $ et $ v_n $ et on identifie le vecteur constant.
Étape 2 : on pose :
Étape 3 : le système se réécrit $ U_{n+1} = A\,U_n + C $, avec $ U_0 = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} $.
On retrouve la forme affine $ U_{n+1} = A\,U_n + C $ étudiée séparément.
Attention
Erreurs fréquentes :
- transposer les coefficients : si la première ligne donne $ u_{n+1} $, ses coefficients constituent la première ligne de $ A $, pas la première colonne ;
- oublier le signe d'un coefficient : un terme $ -u_n $ donne un coefficient $ -1 $ dans $ A $ ;
- traiter un terme constant comme un coefficient de $ A $ : il faut alors écrire $ U_{n+1} = A\,U_n + C $ avec $ C $ vecteur colonne, pas l'absorber dans la matrice ;
- inverser l'ordre des suites : si on choisit $ U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} $, conserver cet ordre dans toutes les lignes de $ A $.