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Nombres complexes et algèbre Méthode

Linéariser une expression trigonométrique avec les formules d’Euler

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5 minutes
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Méthode

Linéariser une expression du type $ \cos^{p}\theta\sin^{q}\theta $, c'est l'écrire comme une somme de termes du type $ a\cos\left(k\theta\right) $ ou $ b\sin\left(k\theta\right) $ (sans puissance).

  1. Étape 1 : Remplacer chaque cosinus et chaque sinus par les formules d'Euler :

    $ \cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} $ et $ \sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} $
  2. Étape 2 : Développer en utilisant la formule du binôme de Newton.
  3. Étape 3 : Regrouper les termes en exponentielles conjuguées (paires $ e^{ik\theta} $ et $ e^{-ik\theta} $).

  4. Étape 4 : Reconstituer des cosinus ou des sinus via les formules :

    $ e^{ik\theta}+e^{-ik\theta}=2\cos\left(k\theta\right) $ et $ e^{ik\theta}-e^{-ik\theta}=2i\sin\left(k\theta\right) $

Linéariser $ \cos^{2}\theta $

Étape 1 : On applique la formule d'Euler pour $ \cos\theta $ :

$ \cos^{2}\theta=\left(\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^{2} $

Étape 2 : On développe avec l'identité remarquable $ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} $ :

$ \cos^{2}\theta=\dfrac{1}{4}\left(e^{2i\theta}+2\,e^{i\theta}e^{-i\theta}+e^{-2i\theta}\right)=\dfrac{1}{4}\left(e^{2i\theta}+2+e^{-2i\theta}\right) $

(car $ e^{i\theta}e^{-i\theta}=e^{0}=1 $).

Étape 3 : On regroupe la paire conjuguée :

$ \cos^{2}\theta=\dfrac{1}{4}\left(\color{red}{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}}\color{black}+2\right) $

Étape 4 : On reconnaît $ e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}=2\cos\left(2\theta\right) $ :

$ \cos^{2}\theta=\dfrac{1}{4}\left(2\cos\left(2\theta\right)+2\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos\left(2\theta\right) $

Linéariser $ \sin^{3}\theta $

Étape 1 : On applique la formule d'Euler pour $ \sin\theta $ :

$ \sin^{3}\theta=\left(\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^{3}=\dfrac{1}{\left(2i\right)^{3}}\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)^{3}=\dfrac{1}{-8i}\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)^{3} $

Étape 2 : On développe avec la formule du binôme $ \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} $ :

$ \left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)^{3}=e^{3i\theta}-3\,e^{2i\theta}e^{-i\theta}+3\,e^{i\theta}e^{-2i\theta}-e^{-3i\theta} $

$ =e^{3i\theta}-3\,e^{i\theta}+3\,e^{-i\theta}-e^{-3i\theta} $

Étape 3 : On regroupe les paires conjuguées :

$ =\left(e^{3i\theta}-e^{-3i\theta}\right)-3\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right) $

Étape 4 : On reconnaît $ e^{ik\theta}-e^{-ik\theta}=2i\sin\left(k\theta\right) $ :

$ =2i\sin\left(3\theta\right)-3\times 2i\sin\theta=2i\left(\sin\left(3\theta\right)-3\sin\theta\right) $

D'où finalement :

$ \sin^{3}\theta=\dfrac{2i\left(\sin\left(3\theta\right)-3\sin\theta\right)}{-8i}=\dfrac{\sin\left(3\theta\right)-3\sin\theta}{-4} $

$ \sin^{3}\theta=\dfrac{3\sin\theta-\sin\left(3\theta\right)}{4} $

Remarque

La linéarisation est très utile pour calculer des primitives : on ne sait pas intégrer directement $ \cos^{2}\theta $, mais on intègre facilement $ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos\left(2\theta\right) $.

Vérification rapide : pour $ \theta=0 $, on obtient $ \cos^{2}0=1 $ et $ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos 0=1 $. Cohérent.

Attention

  • Bien utiliser la bonne formule d'Euler : $ \cos $ a un $ + $ et un dénominateur $ 2 $ ; $ \sin $ a un $ - $ et un dénominateur $ 2i $ (le $ i $ est crucial).
  • Pour calculer $ \left(2i\right)^{n} $ : $ \left(2i\right)^{2}=-4 $, $ \left(2i\right)^{3}=-8i $, $ \left(2i\right)^{4}=16 $, $ \left(2i\right)^{5}=32i $... La parité de $ n $ change la nature du résultat (réel ou imaginaire).
  • Le résultat d'une linéarisation doit être un nombre réel en fonction de $ \theta $ : si on obtient un $ i $ résiduel, c'est qu'il y a une erreur.