Nombres complexes et géométrie
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Créer un compteObjectifs du chapitre
- Ensemble de points dont l'affixe vérifie une condition
- Déterminer la forme trigonométrique d'un nombre complexe
- Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle
- Utiliser la forme exponentielle pour calculer
- Déterminer la nature d'un triangle avec les nombres complexes
- Démontrer un alignement ou une orthogonalité avec les nombres complexes
- Calculer une longueur ou un angle avec les nombres complexes
1. Représentation géométrique d'un nombre complexe
Le plan $ \left(P\right) $ est muni d'un repère orthonormé $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $
Définition
A tout nombre complexe $ z=a+ib $, on associe le point $ M $ de coordonnées $ \left(a ; b\right) $
On dit que $ M $ est l'image de $ z $ et que $ z $ est l'affixe du point $ M $.
A tout vecteur $ \vec{k} $ de coordonnées $ \left(a ; b\right) $ on associe le nombre complexe $ z=a+ib $.
On dit que $ z $ est l'affixe du vecteur $ \vec{k} $.
Propriété
- $ M $ appartient à l'axe des abscisses si et seulement si son affixe $ z $ est un nombre réel
- $ M $ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si son affixe $ z $ est un nombre imaginaire pur
- Deux nombres complexes conjugués ont des affixes symétriques par rapport à l'axe des abscisses
Propriété
Soient $ A $ et $ B $ deux points d'affixes respectives $ z_{A} $ et $ z_{B} $.
l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ est égale à :
$ z_{\overrightarrow{AB}}= z_{B} - z_{A} $l'affixe du milieu $ M $ du segment $ \left[AB\right] $ est égale à :
$ z_{M}= \dfrac{z_{A}+z_{B}}{2} $
Propriété
Soient $ \vec{w}\left(z\right) $ et $ \overrightarrow{w^{\prime}}\left(z^{\prime}\right) $ deux vecteurs du plan et $ k $ un nombre réel.
- Le vecteur $ \vec{w}+\overrightarrow{w^{\prime}} $ a pour affixe $ z+z^{\prime} $ ;
- Le vecteur $ k\vec{w} $ a pour affixe $ kz $.
2. Forme trigonométrique
Définition
Soit $ z $ un nombre complexe non nul d'image $ M $ dans le repère $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $.
On appelle module de $ z $, et on note $ |z| $ le nombre réel positif ou nul $ |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} $.
On appelle argument de $ z $ et on note $ \text{arg}\left(z\right) $ une mesure, exprimée en radians, de l'angle
$ \left(\vec{u}; \overrightarrow{OM}\right) $.
Propriétés des modules
Pour tous nombres complexes $ z $ et $ z^{\prime} $ :
- $ |z|^{2} = z\times \overline{z} $
- $ |zz^{\prime}| = |z|\times |z^{\prime}| $
- $ \left|\dfrac{z}{z^{\prime}}\right| = \dfrac{|z|}{|z^{\prime}|} $ pour $ z^{\prime}\neq 0 $
Propriétés des arguments
Pour tous nombres complexes $ z $ et $ z^{\prime} $ non nuls et tout entier $ n\in \mathbb{Z} $ :
- $ \text{arg}\left(\overline{z}\right)= - \text{arg}\left(z\right) $
- $ \text{arg}\left(zz^{\prime}\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left(z^{\prime}\right) $
- $ \text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right) $
- $ \text{arg}\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)=\text{arg}\left(z\right) - \text{arg}\left(z^{\prime}\right) $
Remarque
En particulier :
- $ \text{arg}\left( - z\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left( - 1\right) = \text{arg}\left(z\right)+\pi $
- $ \text{arg}\left(\dfrac{1}{z}\right)=\text{arg}\left(1\right) - \text{arg}\left(z\right) = - \text{arg}\left(z\right) $.
Théorème et définition
Soit $ z $ un nombre complexe non nul de module $ r $ et d'argument $ \theta $ :
Cette écriture s'appelle forme trigonométrique du nombre $ z $.
Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique
Soit $ z=a+ib $ un nombre complexe non nul.
- $ r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} $
- $ \theta =\text{arg}\left(z\right) $ est défini par :
$ \cos \theta = \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} $ et $ \sin \theta = \dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} $.
Exemple
Soit $ z=\sqrt{3}+i $.
$ |z|=\sqrt{3+1}=2 $
Si $ \theta $ est un argument de $ z $ :
$ \cos \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ et $ \sin \theta =\dfrac{1}{2} $ donc $ \theta =\dfrac{\pi }{6} \left(\text{mod. } 2\pi \right) $
La forme trigonométrique de $ z $ est donc :
$ z=2\left(\cos \dfrac{\pi }{6} + i \sin \dfrac{\pi }{6}\right) $.
Angle de vecteurs et arguments
Soit $ A, B $ et $ C $ trois points du plan d'affixes respectives $ z_{A} $,$ z_{B} $, $ z_{C} $ avec $ A\neq B $ et $ A\neq C $ :
$ \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)= \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) $.
Remarque
- Notez bien l'ordre des affixes (inverse de l'ordre des points dans l'écriture de l'angle).
- Premier cas particulier important :
$ A, B $ et $ C $ sont alignés
$ \phantom{A, B} \Leftrightarrow \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) = 0~\text{ou}~\pi~\left[\text{mod. } 2\pi \right] $
$ \phantom{A, B} \Leftrightarrow \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} \in \mathbb{R} $. - Second cas particulier important :
$ \widehat{BAC} $ est un angle droit
$ \phantom{A, B} \Leftrightarrow \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) = \pm \dfrac{\pi }{2} ~ \left[\text{mod. } 2\pi \right] $
$ \phantom{A, B} \Leftrightarrow \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} $ est un imaginaire pur.
3. Forme exponentielle
Notation
Si $ z $ est un nombre complexe de module $ r $ et d'argument $ \theta $, la notation exponentielle du nombre $ z $ est :
Remarque
Ce sont les propriétés des arguments :
- $ \text{arg}\left(zz^{\prime}\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left(z^{\prime}\right) $
- $ \text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right) $
- $ \text{arg}\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)=\text{arg}\left(z\right) - \text{arg}\left(z^{\prime}\right) $
similaires aux propriétés de l'exponentielle qui justifient cette notation.
Exemple
Le nombre $ - 1 $ a pour module $ 1 $ et pour argument $ \pi \left(\text{mod. } 2\pi \right) $. On peut donc écrire :
$ - 1=e^{i\pi } $ ou encore $ e^{i\pi }+1=0 $.
C'est la célèbre identité d'Euler qui relie $ 0 $, $ 1 $, $ e $, $ i $ et $ \pi $.
Les propriétés des arguments vues précédemment s'écrivent alors :
Propriété
Pour tous réels $ \theta $ et $ \theta ^{\prime} $ :
- $ e^{i\theta }\times e^{i\theta ^{\prime}}=e^{i\left(\theta +\theta ^{\prime}\right)} $
- $ \left(e^{i\theta }\right)^{n}=e^{in\theta } $
- $ \dfrac{e^{i\theta }}{e^{i\theta ^{\prime}}}=e^{i\left(\theta - \theta ^{\prime}\right)} $.
4. Le cercle unité, formules d'Euler et de Moivre
Ensemble U des nombres complexes de module 1
On note $ \mathbb{U} $ l'ensemble des nombres complexes de module $ 1 $ :
Les images des éléments de $ \mathbb{U} $ sont exactement les points du cercle de centre $ O $ et de rayon $ 1 $, appelé cercle unité.
Tout élément de $ \mathbb{U} $ s'écrit sous la forme $ z=e^{i\theta } $, où $ \theta $ est un argument de $ z $.
Stabilité de U
L'ensemble $ \mathbb{U} $ contient $ 1 $ et est stable pour le produit, le passage à l'inverse et la conjugaison. Pour tous $ z $ et $ z^{\prime} $ de $ \mathbb{U} $ :
- $ zz^{\prime}\in \mathbb{U} $, car $ |zz^{\prime}|=|z|\times |z^{\prime}|=1\times 1=1 $ ;
- $ \dfrac{1}{z}\in \mathbb{U} $ ; de plus $ \dfrac{1}{z}=\overline{z} $, car $ z\overline{z}=|z|^{2}=1 $ ;
- $ \overline{z}\in \mathbb{U} $, car $ |\overline{z}|=|z|=1 $.
Remarque
La propriété $ \dfrac{1}{z}=\overline{z} $ est très utile : sur le cercle unité, prendre l'inverse revient à conjuguer. En écriture exponentielle, cela se lit $ \dfrac{1}{e^{i\theta }}=e^{ - i\theta }=\overline{e^{i\theta }} $.
Formules d'Euler
Pour tout réel $ \theta $ :
On en déduit, pour tout réel $ \theta $ :
Exemple
Les formules d'Euler permettent de linéariser (transformer une puissance en somme). Linéarisons $ \cos^{2}\theta $ :
$ \cos^{2}\theta = \left(\dfrac{e^{i\theta }+e^{ - i\theta }}{2}\right)^{2} = \dfrac{e^{2i\theta }+2+e^{ - 2i\theta }}{4} $
Or $ e^{2i\theta }+e^{ - 2i\theta }=2\cos\left(2\theta \right) $, donc :
$ \cos^{2}\theta = \dfrac{2\cos\left(2\theta \right)+2}{4} = $ $\mathbf{\dfrac{1+\cos\left(2\theta \right)}{2}}$.
Formule de Moivre
Pour tout réel $ \theta $ et tout entier $ n\in \mathbb{Z} $ :
C'est la traduction de l'égalité $ \left(e^{i\theta }\right)^{n}=e^{in\theta } $.
Exemple
Calculons $ \left(\cos \dfrac{\pi }{6} + i \sin \dfrac{\pi }{6}\right)^{6} $.
D'après la formule de Moivre, avec $ \theta =\dfrac{\pi }{6} $ et $ n=6 $ :
$ \left(\cos \dfrac{\pi }{6} + i \sin \dfrac{\pi }{6}\right)^{6} = \cos\left(6\times \dfrac{\pi }{6}\right) + i \sin\left(6\times \dfrac{\pi }{6}\right) = \cos \pi + i \sin \pi = $ $\mathbf{- 1}$.
Remarque
Les formules d'Euler sont au cœur des techniques de linéarisation et la formule de Moivre permet d'exprimer $ \cos\left(n\theta \right) $ et $ \sin\left(n\theta \right) $ en fonction de $ \cos\theta $ et $ \sin\theta $.
Les questions essentielles
1. Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ?
On calcule le module $ r=\sqrt{a^{2}+b^{2}} $ puis on cherche un argument $ \theta $ tel que $ \cos\theta = \dfrac{a}{r} $ et $ \sin\theta = \dfrac{b}{r} $.
Voir la fiche méthode : Déterminer la forme trigonométrique d'un nombre complexe
2. Comment passer entre forme algébrique et forme exponentielle ?
On utilise $ z = re^{i\theta} $ avec $ r = |z| $ et $ \theta = \arg(z) $. Pour le retour, on développe avec $ z = r\cos\theta + i\,r\sin\theta $.
Voir la fiche méthode : Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle
3. Comment calculer un produit, un quotient ou une puissance de nombres complexes ?
La forme exponentielle rend ces calculs très simples : $ \left(re^{i\theta}\right)\left(r'e^{i\theta'}\right) = rr'\,e^{i(\theta+\theta')} $ et $ \left(re^{i\theta}\right)^{n} = r^{n}\,e^{in\theta} $ (formule de Moivre).
Voir la fiche méthode : Utiliser la forme exponentielle pour calculer
4. Comment calculer une longueur ou un angle avec les nombres complexes ?
La longueur $ AB $ vaut $ |z_{B} - z_{A}| $. L'angle $ \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) $ est l'argument du quotient $ \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} $.
Voir la fiche méthode : Calculer une longueur ou un angle avec les nombres complexes
5. Comment démontrer qu'un triangle est isocèle, rectangle ou équilatéral ?
On forme le quotient $ Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} $ et on lit la nature du triangle sur son module ($ |Z|=1 $ pour isocèle en $ A $) et son argument ($ \pm\dfrac{\pi}{2} $ rectangle, $ \pm\dfrac{\pi}{3} $ équilatéral).
Voir la fiche méthode : Déterminer la nature d'un triangle avec les nombres complexes
6. Comment démontrer que trois points sont alignés ou que deux droites sont perpendiculaires ?
Trois points $ A $, $ B $, $ C $ sont alignés si et seulement si $ \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} $ est un nombre réel. Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le quotient correspondant est un imaginaire pur.
Voir la fiche méthode : Démontrer un alignement ou une orthogonalité avec les nombres complexes
7. Comment déterminer un ensemble de points dont l'affixe vérifie une condition ?
On dispose de deux méthodes : la méthode algébrique (poser $ z=x+iy $ et identifier l'équation cartésienne) et la méthode géométrique (interpréter $ |z-a| $ comme une distance).
Voir la fiche méthode : Ensemble de points dont l'affixe vérifie une condition