Nombres complexes et géométrie
Entraînement
QCM : Formules d’Euler et de Moivre
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Ce QCM porte sur les formules d'Euler et de Moivre : expressions de $\cos\theta$ et $\sin\theta$, puissances de $\cos\theta + i\sin\theta$, linéarisation et applications. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : D'après les formules d'Euler, $\cos\theta$ s'écrit :
- (Correct) $\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$
- (Incorrect) $\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2}$
- (Incorrect) $\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$
- (Incorrect) $\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2i}$
Question 2 : D'après la formule de Moivre, pour tout entier $n$, $(\cos\theta + i\sin\theta)^{n}$ vaut :
- (Incorrect) $\cos^{n}\theta + i\sin^{n}\theta$
- (Incorrect) $n\cos\theta + in\sin\theta$
- (Correct) $\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$
- (Incorrect) $\cos(\theta^{n}) + i\sin(\theta^{n})$
Question 3 : D'après la formule de Moivre, $\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{6}$ vaut :
- (Incorrect) $1$
- (Correct) $-1$
- (Incorrect) $i$
- (Incorrect) $-i$
Question 4 : En linéarisant à l'aide des formules d'Euler, $\cos^{2}\theta$ s'écrit :
- (Incorrect) $\dfrac{1 - \cos(2\theta)}{2}$
- (Incorrect) $\dfrac{\cos(2\theta) - 1}{2}$
- (Correct) $\dfrac{1 + \cos(2\theta)}{2}$
- (Incorrect) $\cos(2\theta)$
Question 5 : Le nombre $(1 + i)^{8}$ vaut :
- (Incorrect) $-16$
- (Incorrect) $1$
- (Correct) $16$
- (Incorrect) $16i$
Question 6 : D'après les formules d'Euler, $\sin\theta$ vaut :
- (Incorrect) $\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2}$
- (Correct) $\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$
- (Incorrect) $\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2i}$
- (Incorrect) $\dfrac{e^{-i\theta} - e^{i\theta}}{2i}$