Déterminer le terme général d’une suite U(n+1) = AU(n) + C
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Soit $ \left(U_n\right) $ une suite de matrices colonnes vérifiant $ U_{n+1} = A\,U_n + C $ avec $ I_p - A $ inversible.
Pour exprimer $ U_n $ en fonction de $ n $ :
- Étape 1 : chercher le point fixe $ L $ vérifiant $ L = A\,L + C $, c'est-à-dire $ \left(I_p - A\right)L = C $. Résoudre ce système matriciel donne $ L $.
- Étape 2 : poser $ V_n = U_n - L $. Vérifier que $ V_{n+1} = A\,V_n $, donc $ V_n = A^n\,V_0 $ avec $ V_0 = U_0 - L $.
- Étape 3 : revenir à $ U_n $ : $ U_n = V_n + L = A^n\left(U_0 - L\right) + L $. Si $ A^n $ est calculable explicitement (matrice diagonale, formule conjecturée), donner l'expression coefficient par coefficient.
Remarque
Le point fixe $ L $ joue le rôle de la limite éventuelle : si $ A^n \to 0 $ (par exemple $ A $ diagonale avec coefficients dans $ \left]-1\,;\,1\right[ $), alors $ U_n \to L $.
L'analogie avec les suites arithmético-géométriques scalaires $ u_{n+1} = a\,u_n + b $ est directe : on remplace le réel $ a $ par la matrice $ A $, la constante $ b $ par le vecteur $ C $, et le point fixe scalaire par le point fixe matriciel.
Cas diagonal explicite
On considère la suite définie par $ U_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ et $ U_{n+1} = A\,U_n + C $ avec :
Étape 1 : recherche du point fixe $ L = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ vérifiant $ L = A\,L + C $.
D'où $ L = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} $.
Étape 2 : on pose $ V_n = U_n - L $. Alors $ V_0 = U_0 - L = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix} $ et $ V_{n+1} = A\,V_n $.
La matrice $ A $ étant diagonale, on a $ A^n = \begin{pmatrix} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\dfrac{1}{4}\right)^n \end{pmatrix} $.
D'où $ V_n = A^n\,V_0 = \begin{pmatrix} -6\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\ -8\left(\dfrac{1}{4}\right)^n \end{pmatrix} $.
Étape 3 : on revient à $ U_n $.
Comme $ \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0 $ et $ \left(\dfrac{1}{4}\right)^n \to 0 $, on a $ U_n \to L = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} $.
Modèle d'évolution de population
Deux espèces cohabitent : on note $ u_n $ l'effectif de la première et $ v_n $ celui de la seconde au mois $ n $ (en milliers). On suppose que $ u_0 = 4 $, $ v_0 = 2 $ et :
On pose $ U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} $, $ A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}25 \end{pmatrix} $ et $ C = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} $.
Étape 1 : recherche de $ L = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ vérifiant $ L = A\,L + C $.
$ x = 0{,}5\,x + 1 $ donne $ 0{,}5\,x = 1 $, soit $ x = 2 $.
$ y = 0{,}25\,y + 3 $ donne $ 0{,}75\,y = 3 $, soit $ y = 4 $.
D'où $ L = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} $.
Étape 2 : on pose $ V_n = U_n - L $, donc $ V_0 = \begin{pmatrix} 4 - 2 \\ 2 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} $.
Comme $ A $ est diagonale, $ V_n = A^n\,V_0 = \begin{pmatrix} 2 \times 0{,}5^n \\ -2 \times 0{,}25^n \end{pmatrix} $.
Étape 3 : $ U_n = V_n + L $.
On lit $ u_n = 2 + 2 \times 0{,}5^n $ et $ v_n = 4 - 2 \times 0{,}25^n $. À long terme, $ u_n \to 2 $ et $ v_n \to 4 $ : les deux populations se stabilisent à $ 2\,000 $ et $ 4\,000 $ individus.
Attention
Erreurs fréquentes :
- chercher le point fixe à partir de $ L = A + C $ au lieu de $ L = A\,L + C $ : c'est l'équation de point fixe, pas une simple addition ;
- oublier le retour final à $ U_n $ : la suite à exprimer est $ U_n $, pas $ V_n $ ;
- additionner $ A^n $ et $ L $ comme s'il s'agissait de scalaires : $ A^n $ multiplie $ V_0 $, puis on ajoute $ L $ ;
- supposer que $ I_p - A $ est inversible sans le vérifier : si ce n'est pas le cas, il n'y a pas (ou pas un seul) point fixe et la méthode ne s'applique pas.