Construire la matrice de transition d’une chaîne de Markov
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
Pour construire la matrice de transition $ P $ d'une chaîne de Markov à $ p $ états $ E_1, E_2, \ldots, E_p $ :
- Étape 1 : identifier les états et fixer leur ordre. C'est cet ordre qui détermine la numérotation des lignes et des colonnes de $ P $.
- Étape 2 : pour chaque état de départ $ E_i $, lister les probabilités de passer en une étape vers chacun des autres états $ E_j $. Le coefficient $ p_{ij} $ se place à la ligne $ i $ et à la colonne $ j $.
- Étape 3 : vérifier que la somme de chaque ligne vaut $ 1 $ (toutes les probabilités issues d'un même état couvrent l'ensemble des cas possibles).
Remarque
La convention « ligne = état de départ, colonne = état d'arrivée » est celle adoptée dans le programme officiel et impose d'écrire l'évolution sous la forme $ X_{n+1} = X_n\,P $, où $ X_n $ est une matrice ligne.
Si l'énoncé fournit un graphe pondéré, chaque flèche orientée $ E_i \to E_j $ étiquetée $ p $ donne directement le coefficient $ p_{ij} = p $. Les boucles fournissent les coefficients diagonaux $ p_{ii} $.
Construction depuis un énoncé
Une borne de location de vélos compte deux stations $ A $ et $ B $. Chaque jour, un vélo loué en $ A $ est rendu en $ A $ avec probabilité $ 0{,}6 $ et en $ B $ avec probabilité $ 0{,}4 $. Un vélo loué en $ B $ est rendu en $ A $ avec probabilité $ 0{,}3 $ et en $ B $ avec probabilité $ 0{,}7 $.
Étape 1 : on choisit l'ordre des états $ \left(A, B\right) $.
Étape 2 : on remplit $ P $ ligne par ligne.
Ligne 1 (départ en $ A $) : $ p_{AA} = 0{,}6 $ et $ p_{AB} = 0{,}4 $.
Ligne 2 (départ en $ B $) : $ p_{BA} = 0{,}3 $ et $ p_{BB} = 0{,}7 $.
Étape 3 : vérification : $ 0{,}6 + 0{,}4 = 1 $ et $ 0{,}3 + 0{,}7 = 1 $. La matrice est valide.
Construction depuis un graphe pondéré (3 états)
Une étude porte sur l'opinion politique d'un panel : chaque mois, chaque personne se déclare favorable ($ F $), indécise ($ I $) ou défavorable ($ D $). Les transitions entre états sont décrites par le graphe ci-dessous.
Étape 1 : on fixe l'ordre $ \left(F, I, D\right) $.
Étape 2 : on lit les arêtes sortantes de chaque sommet.
Depuis $ F $ : $ p_{FF} = 0{,}7 $, $ p_{FI} = 0{,}3 $, $ p_{FD} = 0 $ (pas d'arête $ F \to D $).
Depuis $ I $ : $ p_{IF} = 0{,}2 $, $ p_{II} = 0{,}5 $, $ p_{ID} = 0{,}3 $.
Depuis $ D $ : $ p_{DF} = 0 $ (pas d'arête $ D \to F $), $ p_{DI} = 0{,}4 $, $ p_{DD} = 0{,}6 $.
Étape 3 : vérification de la somme des lignes.
$ 0{,}7 + 0{,}3 + 0 = 1 $, $ 0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}3 = 1 $, $ 0 + 0{,}4 + 0{,}6 = 1 $.
Attention
Erreurs fréquentes :
- transposer la matrice : avec la convention « ligne = départ, colonne = arrivée », $ p_{AB} $ est la probabilité de passer de $ A $ à $ B $, pas l'inverse ;
- oublier les boucles : si l'on peut rester dans le même état, le coefficient diagonal $ p_{ii} $ est non nul ;
- oublier les coefficients nuls : un état non atteignable depuis un autre donne $ 0 $, qu'il faut écrire explicitement dans $ P $ ;
- obtenir une ligne dont la somme dépasse $ 1 $ ou est inférieure à $ 1 $ : revoir la lecture des transitions, il manque ou il y a un coefficient en trop.