Congruences – Puissances de 2 et de 3

Dans cet exercice, on recherche s’il existe des valeurs de l’entier naturel n pour lesquelles n^2+9 est une puissance de 2 ou une puissance de 3.

Partie A

Soient deux entiers naturels n et m tels que n^2+9=2^m.

1. Justifier que m est nécessairement supérieur ou égal à 4 et que n est impair.
2. Montrer qu’alors n^2 \equiv 3 (mod. 4)
3. Compléter le tableau :
   

   n \equiv \cdots \ \ (\text{mod. 4})	\qquad 0 \qquad	\qquad 1 \qquad	\qquad 2 \qquad	\qquad 3 \qquad
   n^2 \equiv \cdots \ \ (\text{mod. 4})

4. Existe-t-il des valeurs de n pour lesquelles n^2+9 est une puissance de 2 ?

Partie B

Soient deux entiers naturels n et m tels que n^2+9=3^m.

1. Justifier que m est nécessairement supérieur ou égal à 2 et que n est pair.
2. Montrer qu’alors (-1)^m \equiv 1 (mod. 4).
   Que peut-on en déduire sur la parité de m ?
3. On pose m=2k.
   Montrer que (3^k-n)(3^k+n)=9
4. Existe-t-il des valeurs de n pour lesquelles n^2+9 est une puissance de 3 ?

Corrigé

Solution rédigée par PYF82

Certains élèves m’ayant signalé que la correction de la question B4 ne leur semblait pas très claire (en particulier le m \geqslant 4), je me permets d’apporter les précisions suivantes :

Ce qu’a cherché à montrer l’auteur de cette solution, c’est qu’il n’y avait pas de solution avec m \geqslant 4 à l’aide d’un raisonnement par l’absurde.
De ce fait, les seules solutions possibles correspondront à m < 4 donc comme m est pair et non nul m=2.