Exercice non corrigéDans cet exercice, on recherche s'il existe des valeurs de l'entier naturel n pour lesquelles n^2+9 est une puissance de 2 ou une puissance de 3.
Partie A
Soient deux entiers naturels n et m tels que n^2+9=2^m.
- Justifier que m est nécessairement supérieur ou égal à 4 et que n est impair.
- Montrer qu'alors n^2 \equiv 3 (mod. 4)
- Compléter le tableau :
n \equiv \cdots \ \ (\text{mod. 4}) \qquad 0 \qquad \qquad 1 \qquad \qquad 2 \qquad \qquad 3 \qquad n^2 \equiv \cdots \ \ (\text{mod. 4}) - Existe-t-il des valeurs de n pour lesquelles n^2+9 est une puissance de 2 ?
Partie B
Soient deux entiers naturels n et m tels que n^2+9=3^m.
- Justifier que m est nécessairement supérieur ou égal à 2 et que n est pair.
- Montrer qu'alors (-1)^m \equiv 1 (mod. 4).
Que peut-on en déduire sur la parité de m ? - On pose m=2k.
Montrer que (3^k-n)(3^k+n)=9 - Existe-t-il des valeurs de n pour lesquelles n^2+9 est une puissance de 3 ?
