Exercice corrigéSoit n un entier naturel.
On pose a=3n+1, b=5n+1 et d=PGCD\left(a;b\right).
- Montrer que d est un diviseur de 2.
- Déterminer les valeurs de d en fonction de n.
Corrigé
- d divise a et b donc il divise toute combinaison linéaire de a et b en particulier il divise :
5a-3b=5\left(3n+1\right)-3\left(n+1\right)=2Remarque
On a choisi les coefficients 5 et -3 de façon à éliminer les n...
- Les seuls diviseurs entiers naturels de 2 sont 1 et 2. Par conséquent :
- Si n est pair, a et b sont impairs donc d ne peut pas être égal à 2, d'où d=1
- Si n est impair, a et b sont pairs donc d est également pair d'où d=2
