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Suites et matrices Exercices

Chaîne de Markov à deux états — vélos en libre-service

Durée estimée
10 minutes
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Objectifs travaillés

Une compagnie de vélos en libre-service gère deux stations dans une ville : la station Centre (C) et la station Gare (G). Des relevés quotidiens montrent que :

  • un vélo se trouvant à la station C en fin de journée reste à la station C le lendemain avec une probabilité de $ 0{,}8 $ et se retrouve à la station G avec une probabilité de $ 0{,}2 $ ;
  • un vélo se trouvant à la station G en fin de journée se retrouve à la station C le lendemain avec une probabilité de $ 0{,}3 $ et reste à la station G avec une probabilité de $ 0{,}7 $.

On modélise cette situation par une chaîne de Markov à deux états C et G. Pour tout entier naturel $ n $, on note $ X_n = \begin{pmatrix} c_n & g_n \end{pmatrix} $ la distribution probabiliste au jour $ n $, où $ c_n $ (resp. $ g_n $) désigne la probabilité qu'un vélo choisi au hasard se trouve à la station C (resp. G) au jour $ n $.

    1. Représenter cette chaîne de Markov par un graphe orienté pondéré.
    2. Écrire la matrice de transition $ M $ de cette chaîne de Markov. Vérifier que la somme des coefficients de chaque ligne est égale à $ 1 $.

  2. Au début du relevé (jour 0), tous les vélos sont regroupés à la station C : $ X_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} $.

    1. Calculer $ X_1 $.
    2. Calculer $ X_2 $.
    3. Interpréter le premier coefficient de $ X_2 $.
  3. Déterminer la distribution invariante de cette chaîne de Markov. Interpréter le résultat.

Corrigé

Question 1

a. Voici le graphe orienté pondéré représentant la chaîne de Markov :

Graphe orienté pondéré à deux états C et G avec les probabilités de transition

b. La matrice de transition est :

$ M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix} $

Vérification : $ 0{,}8 + 0{,}2 = 1 $ et $ 0{,}3 + 0{,}7 = 1 $.

Question 2

a. On applique $ X_1 = X_0 \, M $ :

$ X_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix} $

$\mathbf{X_1 = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}}$

b. On applique $ X_2 = X_1 \, M $ :

Premier coefficient : $ 0{,}8 \times 0{,}8 + 0{,}2 \times 0{,}3 = 0{,}64 + 0{,}06 = 0{,}70 $.
Second coefficient : $ 0{,}8 \times 0{,}2 + 0{,}2 \times 0{,}7 = 0{,}16 + 0{,}14 = 0{,}30 $.

$\mathbf{X_2 = \begin{pmatrix} 0{,}70 & 0{,}30 \end{pmatrix}}$

c. Au jour 2, la probabilité qu'un vélo choisi au hasard se trouve à la station Centre est de $ 0{,}70 $, soit 70 % des vélos.

Question 3

On cherche $ X = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} $ vérifiant $ X \, M = X $ et $ a + b = 1 $.

L'égalité $ X \, M = X $ se traduit par le système :

$ \left\{\begin{matrix} 0{,}8\,a + 0{,}3\,b = a \\ 0{,}2\,a + 0{,}7\,b = b \end{matrix}\right. $

Les deux équations sont équivalentes. La première donne : $ 0{,}3\,b = 0{,}2\,a $, soit $ a = \dfrac{3}{2}\,b $.

En ajoutant la condition $ a + b = 1 $ :

$ \dfrac{3}{2}\,b + b = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad \dfrac{5}{2}\,b = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad b = \dfrac{2}{5} $

D'où $ a = \dfrac{3}{5} $. La distribution invariante est :

$ X = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5} \end{pmatrix} $

À long terme, quelle que soit la répartition initiale des vélos, 60 % se trouvent à la station Centre et 40 % à la station Gare.

Pour réviser : Construire la matrice de transition d'une chaîne de Markov