Terminale S

assez facile Exercice corrigé

Nombres complexes – Equation du second degré

Pour quelle valeur de $a$ l’équation $z^{2}-2z+a=0$ admet-elle le nombre $1+i$ comme solution ?
Quelle est alors l’autre solution ?

Corrigé

$1+i$ est solution de l’équation $z^{2}-2z+a=0$ si et seulement si :
$\left(1+i\right)^{2}-2\left(1+i\right)+a=0$
$1+2i+i^{2}-2-2i+a=0$
$-2+a=0$
$a=2$
On pourrait calculer le discriminant, mais il est plus simple de dire que le polynôme $z^{2}-2z+2$ est à coefficients réels donc que les racines sont conjuguées. On obtient donc :
$z_{2}=\overline{1+i}=1-i$

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