Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Matrices : Puissances et inverse

Soit la matrice A=(1101)A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

  1. Calculer A2A^{2}, A3A^{3} et A4A^{4}

  2. On pose B=(1a01)B=\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} et I=(1001)I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

    Montrer qu'il existe une valeur de aa telle que A×B=IA\times B=I.

    En déduire que AA est inversible et déterminer A1A^{ - 1}

Corrigé

  1. A2=(1101)×(1101)=(1201)A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

    A3=A2×A=(1201)×(1101)=(1301)A^{3}=A^{2}\times A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

    A4=A3×A=(1301)×(1101)=(1401)A^{4}=A^{3}\times A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

  2. A×B=(1101)×(1a01)=(1a+101)A\times B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & a+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

    On remarque que pour a=1a= - 1, A×B=IA\times B=I

    On a donc :

    (1101)×(1101)=I\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 & - 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=I

    On montre également, par un calcul direct, que :

    (1101)×(1101)=I\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=I

    Donc AA est inversible et A1=(1101)A^{ - 1}=\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} (voir définition)