Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle
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Créer un compteMéthode — de la forme algébrique vers la forme exponentielle
Soit $ z=a+ib $ un nombre complexe non nul.
- Étape 1 : calculer le module $ r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} $.
- Étape 2 : déterminer un argument $ \theta $ tel que $ \cos\theta = \dfrac{a}{r} $ et $ \sin\theta = \dfrac{b}{r} $.
- Étape 3 : conclure $ z = re^{i\theta} $.
Méthode inverse — de la forme exponentielle vers la forme algébrique
Soit $ z = re^{i\theta} $ avec $ r > 0 $.
Utiliser $ z = r\cos\theta + i\,r\sin\theta $, donc $ a = r\cos\theta $ et $ b = r\sin\theta $.
Remarque
La forme exponentielle est particulièrement adaptée aux produits, quotients et puissances de nombres complexes ; la forme algébrique est adaptée aux sommes et différences. Choisir la forme en fonction de l'opération à effectuer.
Forme algébrique vers forme exponentielle
Écrire $ z = 1 - i $ sous forme exponentielle.
Étape 1 : $ r = |z| = \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{2} $.
Étape 2 : détermination de l'argument.
$ \cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ et $ \sin\theta = \dfrac{-1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} $
L'image de $ z $ est dans le quatrième quadrant, donc $ \theta = -\dfrac{\pi}{4} $.
Étape 3 : conclusion.
Forme exponentielle vers forme algébrique
Écrire $ z = 4\,e^{i\frac{2\pi}{3}} $ sous forme algébrique.
Étape 1 : identifier $ r = 4 $ et $ \theta = \dfrac{2\pi}{3} $.
Étape 2 : calculer $ \cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} $ et $ \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
Étape 3 : développer.
$ z = 4\left(-\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2 + 2i\sqrt{3} $
Avec une partie réelle négative
Écrire $ z = -\sqrt{3} + i $ sous forme exponentielle.
Étape 1 : $ r = \sqrt{3+1} = 2 $.
Étape 2 : $ \cos\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ et $ \sin\theta = \dfrac{1}{2} $.
L'image est dans le deuxième quadrant : $ \theta = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} $.
Étape 3 :
Attention
- La forme exponentielle exige $ r > 0 $. Une écriture comme $ -2\,e^{i\frac{\pi}{3}} $ n'est pas une forme exponentielle correcte. Utiliser le fait que $ -1 = e^{i\pi} $ pour absorber le signe : $ -2\,e^{i\frac{\pi}{3}} = 2\,e^{i\pi} \times e^{i\frac{\pi}{3}} = 2\,e^{i\frac{4\pi}{3}} $.
- Ne jamais oublier le facteur $ i $ devant $ \sin\theta $ lors du retour à la forme algébrique.