QCM : Produit matriciel et inverse
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Ce QCM porte sur le produit de matrices carrées d'ordre 2 et la notion d'inverse. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est dite inversible si et seulement si :
- (Incorrect) tous ses coefficients sont non nuls.
- (Correct) il existe une matrice $B$ telle que $A \times B = B \times A = I_n$.
- (Incorrect) sa diagonale principale ne contient que des $1$.
- (Incorrect) $A$ est une matrice diagonale.
Question 2 : Soient $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$. Que vaut $A \times B$ ?
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 9 & -4 \\ -16 & 9 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 17 & 12 \\ 24 & 17 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 6 & -7 \end{pmatrix}$
- (Correct) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Question 3 : Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$. Que vaut $A \times B$ ?
- (Correct) $\begin{pmatrix} 7 & -1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$
Question 4 : Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$. Que vaut $A \times I_n$ ?
- (Incorrect) $I_n$
- (Incorrect) $A^2$
- (Correct) $A$
- (Incorrect) la matrice nulle.
Question 5 : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. Que vaut $A^2$ ?
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$
- (Correct) $\begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$
Question 6 : Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$. On admet que $A$ est inversible et que $A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$. Pour résoudre le système $\begin{cases} 3x + 4y = 1 \\ 5x + 7y = 2 \end{cases}$, on pose $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Quelle est la solution $(x~;~y)$ ?
- (Correct) $(-1~;~1)$
- (Incorrect) $(1~;~-1)$
- (Incorrect) $(11~;~19)$
- (Incorrect) $(7~;~-5)$