QCM : Puissances d’une matrice
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Ce QCM porte sur le calcul des puissances d'une matrice et leurs propriétés. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $2$. Par convention, que vaut $A^0$ ?
- (Incorrect) La matrice nulle $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
- (Correct) La matrice identité $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
- (Incorrect) La matrice $A$ elle-même.
- (Incorrect) $A^0$ n'est pas défini.
Question 2 : Soit $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$. Quelle est l'expression de $D^n$ pour tout entier $n \geqslant 0$ ?
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 2n & 0 \\ 0 & 5n \end{pmatrix}$
- (Correct) $\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 5^n \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 10^n & 0 \\ 0 & 10^n \end{pmatrix}$
Question 3 : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Que vaut $A^2$ ?
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
- (Correct) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
Question 4 : Soit $P$ la matrice de transition d'une chaîne de Markov à $2$ états. Que représente le coefficient $\left(P^3\right)_{1,2}$ ?
- (Incorrect) La probabilité de passer de l'état $1$ à l'état $2$ en au plus $3$ étapes.
- (Correct) La probabilité de passer de l'état $1$ à l'état $2$ en exactement $3$ étapes.
- (Incorrect) La distance entre les états $1$ et $2$.
- (Incorrect) Le triple de la probabilité de passer de l'état $1$ à l'état $2$ en une étape.
Question 5 : Soit $A$ une matrice carrée. Quelle relation est toujours vraie ?
- (Incorrect) $A^2 \times A^3 = A^6$
- (Correct) $A^2 \times A^3 = A^5$
- (Incorrect) $\left(A^2\right)^3 = A^8$
- (Incorrect) $A^2 + A^3 = A^5$
Question 6 : Soit $A = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}$. Vers quelle matrice $A^n$ tend-elle lorsque $n \to +\infty$ ?
- (Incorrect) $I_2$
- (Correct) La matrice nulle $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $A$
- (Incorrect) $+\infty$ (la suite diverge)