QCM : Lieux géométriques et configurations
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Ce QCM porte sur l'utilisation des complexes pour caractériser des lieux géométriques et des configurations : médiatrice, cercle, alignement, orthogonalité, distance et nature de triangle. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Soient $A$ et $B$ deux points distincts d'affixes $z_{A}$ et $z_{B}$. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - z_{A}| = |z - z_{B}|$ est :
- (Incorrect) le segment $[AB]$
- (Incorrect) le cercle de centre $A$ passant par $B$
- (Correct) la médiatrice du segment $[AB]$
- (Incorrect) la droite $(AB)$
Question 2 : L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 2 + i| = 3$ est :
- (Correct) le cercle de centre $\Omega(2\,;\, -1)$ et de rayon $3$
- (Incorrect) le cercle de centre $\Omega(-2\,;\, 1)$ et de rayon $3$
- (Incorrect) le cercle de centre $\Omega(2\,;\, 1)$ et de rayon $3$
- (Incorrect) le cercle de centre $\Omega(2\,;\, -1)$ et de rayon $9$
Question 3 : Trois points distincts $A$, $B$, $C$ d'affixes $z_{A}, z_{B}, z_{C}$ sont alignés si et seulement si :
- (Incorrect) $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un imaginaire pur
- (Correct) $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un réel
- (Incorrect) $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = 1$
- (Incorrect) $z_{C} - z_{A} = z_{B} - z_{A}$
Question 4 : Soient $A$, $B$, $C$ trois points distincts. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si :
- (Incorrect) $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un réel
- (Incorrect) $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = i$
- (Incorrect) $|z_{C} - z_{A}| = |z_{B} - z_{A}|$
- (Correct) $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un imaginaire pur
Question 5 : Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes $z_{A} = 1 + 2i$ et $z_{B} = -3 + i$. La distance $AB$ vaut :
- (Incorrect) $\sqrt{13}$
- (Incorrect) $\sqrt{5}$
- (Correct) $\sqrt{17}$
- (Incorrect) $5$
Question 6 : L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ non nulle tels que $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$ (modulo $2\pi$) est :
- (Incorrect) la droite passant par $O$ d'angle $\dfrac{\pi}{4}$
- (Incorrect) le cercle de rayon $\dfrac{\pi}{4}$
- (Correct) la demi-droite issue de $O$ (privée de $O$) d'angle $\dfrac{\pi}{4}$
- (Incorrect) l'axe des abscisses