QCM : Application aux graphes pondérés
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Ce QCM porte sur la traduction d'un graphe pondéré probabiliste en matrice de transition et sur l'interprétation des coefficients. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Dans un graphe pondéré probabiliste, à quoi correspondent les nombres écrits sur les arcs ?
- (Incorrect) Au nombre d'arcs entre les sommets concernés.
- (Correct) À la probabilité de transition entre les deux sommets reliés par l'arc.
- (Incorrect) À la distance entre les deux sommets dans le graphe.
- (Incorrect) Au numéro d'ordre de l'arc dans le graphe.
Question 2 : Voici un graphe pondéré probabiliste à $2$ états $A$ et $B$ :
Quelle est la matrice de transition (lignes et colonnes dans l'ordre $A$, $B$) ?
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}2 \\ 0{,}6 & 0{,}8 \end{pmatrix}$
- (Correct) $\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}8 \\ 0{,}2 & 0{,}6 \end{pmatrix}$
Question 3 : Dans un graphe pondéré probabiliste, que vaut la somme des poids des arcs sortant d'un même sommet ?
- (Incorrect) $0$
- (Correct) $1$
- (Incorrect) Le nombre de sommets du graphe
- (Incorrect) Cela dépend du sommet
Question 4 : Dans le graphe pondéré associé à la matrice $P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, comment se traduit la deuxième ligne ?
- (Incorrect) Depuis $E_2$, on revient toujours en $E_1$.
- (Correct) $E_2$ est un état absorbant : depuis $E_2$, on reste en $E_2$ avec probabilité $1$.
- (Incorrect) La probabilité de quitter $E_2$ vaut $1$.
- (Incorrect) $E_2$ n'existe pas.
Question 5 : Soit un graphe pondéré probabiliste à $3$ états dont la matrice de transition est $P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}7 & 0{,}2 \\ 0 & 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$. Quelle est la probabilité de passer de l'état $E_3$ à l'état $E_1$ en une étape ?
- (Correct) $0$
- (Incorrect) $0{,}2$
- (Incorrect) $0{,}4$
- (Incorrect) $0{,}1$
Question 6 : On a calculé pour une chaîne de Markov à $2$ états $E_1$ et $E_2$ : $\left(P^4\right)_{1,2} = 0{,}38$. Comment interpréter ce nombre ?
- (Correct) La probabilité d'être en $E_2$ au bout de $4$ étapes en partant de $E_1$ vaut $0{,}38$.
- (Incorrect) La probabilité de visiter $E_2$ au moins une fois en $4$ étapes vaut $0{,}38$.
- (Incorrect) Le nombre moyen de visites en $E_2$ en $4$ étapes vaut $0{,}38$.
- (Incorrect) La distance entre $E_1$ et $E_2$ dans le graphe vaut $0{,}38$.