Résolution d’un système par écriture matricielle

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

On considère le système $ (S) \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x + 2y = 3 \end{cases} $

Écrire $ (S) $ sous la forme matricielle $ A \times X = B $ en précisant les matrices $ A $, $ X $ et $ B $.
1. Calculer le déterminant $ \Delta = ad - bc $ de la matrice $ A $.
2. En déduire que $ A $ est inversible et calculer $ A^{-1} $.
Justifier que $ A \times X = B \Leftrightarrow X = A^{-1} \times B $, puis en déduire l'ensemble des solutions de $ (S) $.

Corrigé

En posant $ A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $, $ X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ et $ B=\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} $, le système $ (S) $ s'écrit $\mathbf{A \times X = B}$.
1. $ \Delta = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 4 - 3 = 1 $
2. Comme $ \Delta = 1 \neq 0 $, la matrice $ A $ est inversible et :
  
  $ A^{-1} = \dfrac{1}{\Delta}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $
Puisque $ A $ est inversible, en multipliant à gauche des deux membres par $ A^{-1} $ :

$ A \times X = B \Leftrightarrow A^{-1} \times (A \times X) = A^{-1} \times B \Leftrightarrow (A^{-1} \times A) \times X = A^{-1} \times B \Leftrightarrow I_{2} \times X = A^{-1} \times B \Leftrightarrow X = A^{-1} \times B $

On calcule donc :

$ X = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times 8 + (-3) \times 3 \\ (-1) \times 8 + 2 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 - 9 \\ -8 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \end{pmatrix} $

L'ensemble des solutions de $ (S) $ est $\mathbf{\{(7\,;\,-2)\}}$.

Pour réviser : Résoudre un système linéaire à l'aide de l'écriture matricielle