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Nombres complexes et géométrie Exercices

Racines n-ièmes de l’unité et polygone régulier

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

On appelle racine n-ième de l'unité tout nombre complexe $ z $ vérifiant $ z^{n} = 1 $. On admet qu'il en existe exactement $ n $, données par $ z_{k} = e^{\frac{2ik\pi}{n}} $ pour $ k $ entier variant de $ 0 $ à $ n - 1 $.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $ \left(O ; \vec{u} ; \vec{v}\right) $.

  1. Cas $ n = 3 $ (racines cubiques de l'unité).

    1. Déterminer les trois racines cubiques de l'unité sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
    2. Placer leurs images $ A_{0} $, $ A_{1} $, $ A_{2} $ dans le plan complexe et préciser la nature du triangle $ A_{0}A_{1}A_{2} $.
    3. Calculer la somme et le produit de ces trois racines.

  2. Cas $ n = 4 $ (racines quatrièmes de l'unité).

    1. Déterminer les quatre racines quatrièmes de l'unité sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
    2. Placer leurs images dans le plan complexe et préciser la nature du quadrilatère qu'elles forment.
    3. Calculer la somme et le produit de ces quatre racines.

  3. Cas $ n = 6 $ (racines sixièmes de l'unité).

    1. Déterminer les six racines sixièmes de l'unité sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
    2. Justifier que leurs images sont les sommets d'un hexagone régulier inscrit dans le cercle unité.
    3. Calculer la somme et le produit de ces six racines.
  4. Cas général. Justifier que, pour tout entier $ n \geqslant 2 $, la somme des $ n $ racines n-ièmes de l'unité est nulle.

Corrigé

    1. Pour $ n = 3 $, les racines sont $ z_{k} = e^{\frac{2ik\pi}{3}} $ pour $ k \in \{0 ; 1 ; 2\} $.

      $ z_{0} = e^{0} = 1 $

      $ z_{1} = e^{\frac{2i\pi}{3}} = \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

      $ z_{2} = e^{\frac{4i\pi}{3}} = \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

    2. Les trois images appartiennent au cercle unité (leur module vaut $ 1 $) et leurs arguments $ 0 $, $ \dfrac{2\pi}{3} $, $ \dfrac{4\pi}{3} $ sont régulièrement espacés de $ \dfrac{2\pi}{3} $.

      Triangle équilatéral formé par les trois racines cubiques de l'unité inscrit dans le cercle unité

      Les trois sommets se déduisent les uns des autres par une rotation de centre $ O $ et d'angle $ \dfrac{2\pi}{3} $ : le triangle $ A_{0}A_{1}A_{2} $ est donc équilatéral.

    3. Somme :

      $ z_{0} + z_{1} + z_{2} = 1 + \left(-\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - 1 + 0 = 0 $

      La somme des racines cubiques de l'unité vaut $\mathbf{0}$.

      Produit :

      $ z_{0}\,z_{1}\,z_{2} = e^{0} \times e^{\frac{2i\pi}{3}} \times e^{\frac{4i\pi}{3}} = e^{i\left(0 + \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}\right)} = e^{2i\pi} = 1 $

      Le produit des racines cubiques de l'unité vaut $\mathbf{1}$.

    1. Pour $ n = 4 $, les racines sont $ z_{k} = e^{\frac{2ik\pi}{4}} = e^{\frac{ik\pi}{2}} $ pour $ k \in \{0 ; 1 ; 2 ; 3\} $.

      $ z_{0} = e^{0} = 1 $

      $ z_{1} = e^{\frac{i\pi}{2}} = i $

      $ z_{2} = e^{i\pi} = -1 $

      $ z_{3} = e^{\frac{3i\pi}{2}} = -i $

    2. Les quatre images ont pour module $ 1 $ : elles appartiennent au cercle unité. Leurs arguments $ 0 $, $ \dfrac{\pi}{2} $, $ \pi $, $ \dfrac{3\pi}{2} $ sont régulièrement espacés de $ \dfrac{\pi}{2} $, soit $ 90^{\circ} $.

      Carré formé par les quatre racines quatrièmes de l'unité inscrit dans le cercle unité

      Les quatre sommets se déduisent les uns des autres par une rotation de centre $ O $ et d'angle $ \dfrac{\pi}{2} $ : ils forment un carré inscrit dans le cercle unité.

    3. Somme :

      $ z_{0} + z_{1} + z_{2} + z_{3} = 1 + i + (-1) + (-i) = 0 $

      La somme des racines quatrièmes de l'unité vaut $\mathbf{0}$.

      Produit :

      $ z_{0}\,z_{1}\,z_{2}\,z_{3} = e^{i\left(0 + \frac{\pi}{2} + \pi + \frac{3\pi}{2}\right)} = e^{3i\pi} = e^{i\pi} = -1 $

      Le produit des racines quatrièmes de l'unité vaut $\mathbf{-1}$.

    1. Pour $ n = 6 $, les racines sont $ z_{k} = e^{\frac{2ik\pi}{6}} = e^{\frac{ik\pi}{3}} $ pour $ k \in \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5\} $.

      $ z_{0} = e^{0} = 1 $

      $ z_{1} = e^{\frac{i\pi}{3}} = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

      $ z_{2} = e^{\frac{2i\pi}{3}} = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

      $ z_{3} = e^{i\pi} = -1 $

      $ z_{4} = e^{\frac{4i\pi}{3}} = -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

      $ z_{5} = e^{\frac{5i\pi}{3}} = \dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

    2. Chaque racine a pour module $ \left|e^{\frac{ik\pi}{3}}\right| = 1 $ : les six images sont sur le cercle unité. De plus, deux images consécutives sont séparées par un écart d'argument constant égal à $ \dfrac{\pi}{3} $, soit $ 60^{\circ} $.

      Hexagone régulier formé par les six racines sixièmes de l'unité inscrit dans le cercle unité

      Les six points sont donc équidistants sur le cercle unité : ils forment un hexagone régulier inscrit dans ce cercle.

    3. Somme : on regroupe les racines opposées deux à deux.

      $ z_{0} + z_{3} = 1 + (-1) = 0 $, $ z_{1} + z_{4} = 0 $ et $ z_{2} + z_{5} = 0 $.

      $ z_{0} + z_{1} + z_{2} + z_{3} + z_{4} + z_{5} = 0 $

      La somme des racines sixièmes de l'unité vaut $\mathbf{0}$.

      Produit : on additionne les arguments.

      $ \displaystyle\prod_{k=0}^{5} z_{k} = e^{\frac{i\pi}{3}\left(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5\right)} = e^{\frac{15i\pi}{3}} = e^{5i\pi} = e^{i\pi} = -1 $

      Le produit des racines sixièmes de l'unité vaut $\mathbf{-1}$.

  4. Notons $ \omega = e^{\frac{2i\pi}{n}} $. Comme $ n \geqslant 2 $, on a $ \omega \neq 1 $, et chaque racine s'écrit $ z_{k} = \omega^{k} $.

    La somme est donc géométrique de raison $ \omega $ :

    $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z_{k} = \sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k} = \dfrac{\omega^{n} - 1}{\omega - 1} $

    Or $ \omega^{n} = \left(e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^{n} = e^{2i\pi} = 1 $, donc le numérateur $ \omega^{n} - 1 = 0 $.

    Comme $ \omega - 1 \neq 0 $, on conclut :

    $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z_{k} = 0 $

    La somme des $ n $ racines n-ièmes de l'unité est nulle pour tout entier $ n \geqslant 2 $. Géométriquement, le centre de gravité des sommets du polygone régulier inscrit dans le cercle unité est le point $ O $.