Démontrer un alignement ou une orthogonalité avec les nombres complexes
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Soient $ A $, $ B $, $ C $ trois points distincts d'affixes $ z_{A} $, $ z_{B} $, $ z_{C} $.
On considère le quotient :
dont l'argument est l'angle $ \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) $.
- Étape 1 : former le quotient $ Z $ adapté à la situation (alignement ou orthogonalité).
- Étape 2 : simplifier $ Z $ (forme algébrique ou exponentielle).
- Étape 3 : conclure selon le critère retenu.
Critères
- Alignement de $ A $, $ B $, $ C $ : $ Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} $ est un nombre réel (la partie imaginaire est nulle), c'est-à-dire $ \arg(Z) = 0 $ ou $ \pi $.
- Orthogonalité de $ \left(AB\right) $ et $ \left(AC\right) $ : $ Z $ est un imaginaire pur (la partie réelle est nulle), c'est-à-dire $ \arg(Z) = \pm\dfrac{\pi}{2} $.
- Orthogonalité de deux droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ ne partageant aucun sommet : poser $ Z = \dfrac{z_{D} - z_{C}}{z_{B} - z_{A}} $ et vérifier que $ Z $ est imaginaire pur.
Alignement
Démontrer que les points $ A $, $ B $, $ C $ d'affixes $ z_{A} = 1 + i $, $ z_{B} = 3 + 2i $, $ z_{C} = 7 + 4i $ sont alignés.
Étape 1 : former le quotient.
$ Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = \dfrac{7 + 4i - 1 - i}{3 + 2i - 1 - i} = \dfrac{6 + 3i}{2 + i} $
Étape 2 : simplifier.
On remarque que $ 6 + 3i = 3(2 + i) $, donc :
$ Z = \dfrac{3(2 + i)}{2 + i} = 3 $
Étape 3 : conclusion.
$ Z = 3 $ est un nombre réel, donc les trois points $ A $, $ B $, $ C $ sont alignés.
Orthogonalité de deux droites
Soient $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ d'affixes $ z_{A} = 1 $, $ z_{B} = 1 + 2i $, $ z_{C} = 3 + i $, $ z_{D} = 5 + i $. Déterminer la position relative des droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $.
Étape 1 : former le quotient adapté aux deux droites.
$ Z_{1} = \dfrac{z_{D} - z_{C}}{z_{B} - z_{A}} = \dfrac{5 + i - 3 - i}{1 + 2i - 1} = \dfrac{2}{2i} = \dfrac{1}{i} = -i $
Étape 2 : $ Z_{1} = -i $ est un imaginaire pur, donc $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont perpendiculaires.
Étape 3 : conclusion.
Les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont perpendiculaires.
Triangle rectangle (orthogonalité en un sommet)
Démontrer que le triangle $ ABC $ d'affixes $ z_{A} = 2 $, $ z_{B} = 5 + i $, $ z_{C} = 1 + 3i $ est rectangle en $ A $.
Étape 1 : former le quotient au sommet $ A $.
$ Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = \dfrac{1 + 3i - 2}{5 + i - 2} = \dfrac{-1 + 3i}{3 + i} $
Étape 2 : simplifier en multipliant par le conjugué.
$ Z = \dfrac{(-1 + 3i)(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} = \dfrac{-3 + i + 9i - 3i^{2}}{9 + 1} = \dfrac{-3 + 10i + 3}{10} = \dfrac{10i}{10} = i $
Étape 3 : $ Z = i $ est un imaginaire pur, donc $ \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) = \dfrac{\pi}{2} $. Le triangle $ ABC $ est rectangle en $ A $.
Attention
- Le critère « $ Z $ réel » donne l'alignement, le critère « $ Z $ imaginaire pur » donne l'orthogonalité. Ne pas les confondre.
- Pour conclure qu'un nombre est réel, vérifier que sa partie imaginaire est nulle. Pour qu'il soit imaginaire pur, vérifier que sa partie réelle est nulle (et qu'il est non nul).
- Toujours simplifier $ Z $ en multipliant par le conjugué du dénominateur quand celui-ci est complexe.