Utiliser la forme exponentielle pour calculer
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Pour calculer un produit, un quotient ou une puissance de nombres complexes, la forme exponentielle est la plus efficace.
Soient $ z = re^{i\theta} $ et $ z' = r'e^{i\theta'} $ deux nombres complexes non nuls et $ n \in \mathbb{Z} $.
- Étape 1 : écrire chaque nombre sous forme exponentielle.
- Étape 2 : appliquer les règles : $ z\,z' = rr'\,e^{i\left(\theta+\theta'\right)} $, $ \dfrac{z}{z'} = \dfrac{r}{r'}\,e^{i\left(\theta-\theta'\right)} $, $ z^{n} = r^{n}\,e^{in\theta} $.
- Étape 3 : si demandé, repasser à la forme algébrique en développant $ \cos $ et $ \sin $.
Formule de Moivre
L'égalité $ z^{n} = r^{n}\,e^{in\theta} $ s'écrit aussi, avec $ r=1 $ :
C'est la formule de Moivre. Elle est très utile pour développer des puissances trigonométriques.
Calcul d'une puissance
Calculer $ z^{6} $ où $ z = 1 + i $, et donner le résultat sous forme algébrique.
Étape 1 : forme exponentielle de $ z $.
$ |z| = \sqrt{2} $, $ \cos\theta = \sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ donc $ \theta = \dfrac{\pi}{4} $.
D'où $ z = \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}} $.
Étape 2 : application de la règle de la puissance.
$ z^{6} = \left(\sqrt{2}\right)^{6}\,e^{i \times 6 \times \frac{\pi}{4}} = 8\,e^{i\frac{3\pi}{2}} $
Étape 3 : retour à la forme algébrique.
$ \cos\dfrac{3\pi}{2} = 0 $ et $ \sin\dfrac{3\pi}{2} = -1 $.
Calcul d'un produit et d'un quotient
On pose $ z_{1} = 2\,e^{i\frac{\pi}{3}} $ et $ z_{2} = \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}} $. Calculer $ z_{1}\,z_{2} $ et $ \dfrac{z_{1}}{z_{2}} $.
Étape 1 : les deux nombres sont déjà sous forme exponentielle.
Étape 2 : application des règles.
$ z_{1}\,z_{2} = 2\sqrt{2}\,e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)} = 2\sqrt{2}\,e^{i\frac{7\pi}{12}} $
$ \dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}}\,e^{i\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)} = \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{12}} $
Application de la formule de Moivre
Exprimer $ \cos\left(3\theta\right) $ en fonction de $ \cos\theta $.
Étape 1 : partir de la formule de Moivre avec $ n = 3 $ :
$ \left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^{3} = \cos\left(3\theta\right) + i\sin\left(3\theta\right) $
Étape 2 : développer le membre de gauche avec l'identité du cube $ (a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} $.
En posant $ a = \cos\theta $ et $ b = i\sin\theta $ :
$ \left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^{3} = \cos^{3}\theta + 3i\cos^{2}\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^{2}\theta - i\sin^{3}\theta $
Étape 3 : identifier les parties réelles.
$ \cos\left(3\theta\right) = \cos^{3}\theta - 3\cos\theta\sin^{2}\theta $
En utilisant $ \sin^{2}\theta = 1 - \cos^{2}\theta $ :
$ \cos\left(3\theta\right) = \cos^{3}\theta - 3\cos\theta\left(1 - \cos^{2}\theta\right) = \mathbf{4\cos^{3}\theta - 3\cos\theta} $
Attention
- Vérifier que les modules sont positifs avant d'appliquer les règles.
- Pour la puissance, ne pas oublier d'élever aussi le module à la puissance $ n $ : $ \left(re^{i\theta}\right)^{n} = r^{n}\,e^{in\theta} $.
- Le résultat $ r^{n}\,e^{in\theta} $ peut donner un argument supérieur à $ 2\pi $ : ramener $ n\theta $ dans $ \left] -\pi ; \pi \right] $ ou $ \left[0 ; 2\pi \right[ $ si nécessaire.