Calculer la somme de matrices et le produit par un réel
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Pour calculer une combinaison linéaire de matrices, par exemple $ kA + k'B $ :
- Étape 1 : vérifier que $ A $ et $ B $ ont exactement les mêmes dimensions (même nombre de lignes et même nombre de colonnes). Sinon, l'opération est impossible.
- Étape 2 : calculer chaque coefficient de $ kA $ en multipliant tous les coefficients de $ A $ par $ k $.
- Étape 3 : faire de même pour $ k'B $.
- Étape 4 : additionner $ kA $ et $ k'B $ coefficient par coefficient (positions identiques).
Somme de deux matrices de même dimension
On considère $ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & -2 \end{pmatrix} $ et $ B = \begin{pmatrix} -1 & 5 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix} $.
Étape 1 : $ A $ et $ B $ sont toutes deux de dimension $ 2 \times 3 $, la somme est possible.
Étape 2 : on additionne les coefficients de même position :
Étape 3 : on simplifie les calculs :
Combinaison linéaire $ 3A - 2B $
On reprend $ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $ et $ B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} $.
Étape 1 : $ A $ et $ B $ sont carrées de dimension $ 2 $, la combinaison $ 3A - 2B $ est possible.
Étape 2 : on calcule $ 3A $ en multipliant chaque coefficient de $ A $ par $ 3 $ :
Étape 3 : on calcule $ 2B $ :
Étape 4 : on soustrait coefficient par coefficient :
Remarque
Le produit d'une matrice par un réel s'appelle aussi produit par un scalaire (ou multiplication par un scalaire). Il ne modifie ni le nombre de lignes ni le nombre de colonnes : la matrice $ kA $ a toujours la même dimension que $ A $.
Attention
Erreurs fréquentes :
- additionner deux matrices de dimensions différentes (par exemple une matrice $ 2 \times 3 $ avec une matrice $ 3 \times 2 $) — c'est impossible ;
- oublier de multiplier tous les coefficients par le réel $ k $, en particulier les coefficients nuls (qui restent nuls) ou négatifs (qui changent de signe si $ k $ est négatif) ;
- confondre $ -A $ avec la transposée : $ -A $ s'obtient en changeant le signe de chaque coefficient, sans permuter les lignes et les colonnes.