Calculer le produit de deux matrices
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Pour calculer un produit $ A \times B $ :
- Étape 1 : vérifier que le nombre de colonnes de $ A $ est égal au nombre de lignes de $ B $. Si $ A $ est $ n \times p $ et $ B $ est $ p \times q $, le produit existe et $ A \times B $ est de dimension $ n \times q $.
- Étape 2 : pour le coefficient $ c_{ij} $ de la ligne $ i $ et colonne $ j $ du produit, multiplier la $ i $-ième ligne de $ A $ par la $ j $-ième colonne de $ B $ (somme des produits des coefficients).
- Étape 3 : répéter ce calcul pour chaque case du résultat.
Produit d'une matrice $ 2 \times 2 $ par une matrice $ 2 \times 2 $
On calcule $ A \times B $ avec $ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $ et $ B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} $.
Étape 1 : $ A $ a $ 2 $ colonnes et $ B $ a $ 2 $ lignes : le produit est possible. Le résultat est de dimension $ 2 \times 2 $.
Étape 2 : on calcule chaque coefficient.
Ligne 1, colonne 1 : $ c_{11} = 1 \times 5 + 2 \times 7 = 5 + 14 = 19 $.
Ligne 1, colonne 2 : $ c_{12} = 1 \times 6 + 2 \times 8 = 6 + 16 = 22 $.
Ligne 2, colonne 1 : $ c_{21} = 3 \times 5 + 4 \times 7 = 15 + 28 = 43 $.
Ligne 2, colonne 2 : $ c_{22} = 3 \times 6 + 4 \times 8 = 24 + 32 = 56 $.
Étape 3 : on assemble le résultat :
Produit d'une matrice $ 2 \times 3 $ par une matrice $ 3 \times 2 $
On calcule $ M \times N $ avec $ M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} $ et $ N = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} $.
Étape 1 : $ M $ est $ 2 \times \color{red}{3} $ et $ N $ est $ \color{red}{3} \times 2 $. Le produit est possible et $ M \times N $ est de dimension $ 2 \times 2 $.
Étape 2 : on calcule les quatre coefficients.
Ligne 1 de $ M $ par colonne 1 de $ N $ : $ 1 \times 2 + 0 \times 0 + (-1) \times 3 = 2 + 0 - 3 = -1 $.
Ligne 1 de $ M $ par colonne 2 de $ N $ : $ 1 \times 1 + 0 \times (-1) + (-1) \times 2 = 1 + 0 - 2 = -1 $.
Ligne 2 de $ M $ par colonne 1 de $ N $ : $ 2 \times 2 + 3 \times 0 + 1 \times 3 = 4 + 0 + 3 = 7 $.
Ligne 2 de $ M $ par colonne 2 de $ N $ : $ 2 \times 1 + 3 \times (-1) + 1 \times 2 = 2 - 3 + 2 = 1 $.
Étape 3 : on rassemble :
Remarque
Astuce de présentation : disposer la matrice $ B $ en haut à droite et la matrice $ A $ en bas à gauche. À l'intersection de la ligne $ i $ de $ A $ et de la colonne $ j $ de $ B $, on lit directement la position du coefficient $ c_{ij} $ à calculer.
Attention
Erreurs fréquentes :
- inverser le rôle des lignes et des colonnes : on multiplie ligne de $ A $ par colonne de $ B $, jamais l'inverse ;
- vouloir multiplier $ A \times B $ alors que le nombre de colonnes de $ A $ ne correspond pas au nombre de lignes de $ B $ ;
- supposer que $ A \times B = B \times A $ : le produit matriciel n'est pas commutatif (et $ B \times A $ peut même ne pas exister) ;
- oublier les signes : un coefficient négatif d'une matrice change le signe lors de la multiplication.