Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Matrice de transition (Bac ES Pondichéry 2006)

Pendant la saison estivale, deux sociétés de transport maritime ont l'exclusivité de l'acheminement des touristes entre deux îles du Pacifique. On admet que le nombre de touristes transportés pendant chaque saison est stable.

La société "Alizés" a établi une enquête statistique sur les années 2001 à 2005 afin de prévoir l'évolution de la capacité d'accueil de ses navires.

L'analyse des résultats a conduit au modèle suivant : d'une année sur l'autre, la société "Alizés", notée A, conserve 80% de sa clientèle et récupère 15 % des clients de la société concurrente, notée B.

Pour tout entier naturel nn, on note pour la saison 2005+n2005+n :

Les résultats pour les probabilités seront arrondies à 10410^{ - 4}.

    1. Modéliser le changement de situation par un graphe probabiliste de sommets nommés A et B.

    2. On note MM la matrice de transition de ce graphe. Compléter la matrice suivante :

      M=(0,80,15)\begin{pmatrix} 0,8 & \cdots \\ 0,15 & \cdots \end{pmatrix}

  1. En 2005, la société "Alizés" a transporté 45 % des touristes. On a donc a0=0,45a_{0}=0,45.

    1. Calculer la probabilité qu'un touriste choisisse la société "Alizés" en 2006.

    2. Déterminer la matrice P2P_{2} et interpréter ces résultats.

  2. Soit P=(ab)P=\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} avec aa et bb deux réels positifs tels que a+b=1a+b=1.

    1. Déterminer aa et bb tels que P=P×MP=P \times M.

    2. En déduire limn+an\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }a_{n}.

    3. Interpréter ce résultat

  3. On admet qu'en 2015, la probabilité qu'un touriste choisisse la société A est 37\frac{3}{7} . On interroge quatre touristes choisis au hasard ; les choix des touristes sont indépendants les uns des autres.

    Déterminer la probabilité qu'au moins un des quatre touristes choisisse la société "Alizés" pour ses vacances en 2015