QCM : Racines carrées et n-ièmes dans ℂ
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Ce QCM porte sur les racines carrées et n-ièmes d'un complexe : équations de la forme $z^{n} = a$, racines $n$-ièmes de l'unité et utilisation de la forme exponentielle. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Les solutions de l'équation $z^{3} = 1$ dans $\mathbb{C}$ sont :
- (Incorrect) Seulement $1$
- (Incorrect) $1$ et $-1$
- (Correct) $1$, $j = e^{i\,2\pi/3}$ et $j^{2} = e^{-i\,2\pi/3}$
- (Incorrect) Aucune
Question 2 : Combien l'équation $z^{4} = 1$ a-t-elle de solutions dans $\mathbb{C}$ ?
- (Incorrect) $1$
- (Incorrect) $2$
- (Correct) $4$
- (Incorrect) Une infinité
Question 3 : Une racine carrée de $-9$ dans $\mathbb{C}$ est :
- (Incorrect) $3$
- (Incorrect) $9i$
- (Correct) $3i$
- (Incorrect) $-9i$
Question 4 : Soit $z_{0} = 2\, e^{i\pi/3}$. Les solutions de l'équation $z^{2} = z_{0}$ sont :
- (Incorrect) $\sqrt{2}\, e^{i\pi/6}$ uniquement
- (Correct) $\sqrt{2}\, e^{i\pi/6}$ et $-\sqrt{2}\, e^{i\pi/6}$
- (Incorrect) $2\, e^{i\pi/6}$ et $-2\, e^{i\pi/6}$
- (Incorrect) $\sqrt{2}\, e^{i\pi/3}$ et $-\sqrt{2}\, e^{i\pi/3}$
Question 5 : Les solutions de $z^{3} = 8$ dans $\mathbb{C}$ sont :
- (Incorrect) Seulement $2$
- (Correct) $2$, $2j$ et $2j^{2}$ avec $j = e^{i\,2\pi/3}$
- (Incorrect) $2$ et $-2$
- (Incorrect) Seulement $\sqrt[3]{8} = 2$ (les autres n'existent pas dans $\mathbb{C}$)
Question 6 : Pour tout entier $n \geqslant 2$, la somme des racines $n$-ièmes de l'unité vaut :
- (Correct) $0$
- (Incorrect) $1$
- (Incorrect) $n$
- (Incorrect) Cette somme dépend de $n$