Division euclidienne : restes

Corrigé

1. Puisque le reste de la division euclidienne de n par 12 est 7, il existe un entier naturel q tel que :
   n=12q+7
   C'est à dire :
   n=3\times 4q+7
   Toutefois on ne peut pas en déduire que le reste de la division euclidienne de n par 3 est 7 puisque 7\geqslant 3. Mais 7=3\times 2+1 donc :
   n=3\times 4q+3\times 2+1=3\left(4q+2\right)+1
   Cette fois on obtient bien une formule du type n=bq^{\prime}+r^{\prime} avec q^{\prime}=4q+2 et r^{\prime}=1 < 3.
   Le reste de la division euclidienne de n par 3 est donc 1.
   De même :
   n=4\times 3q+7=4\times 3q+4\times 1+3=4\left(3q+1\right)+3
   Le reste de la division euclidienne de n par 4 est donc 3.
2. Le reste de la division euclidienne de n par 4 étant 3, il existe un entier naturel k tel que :
   n=4k+3 (1)
   On voudrait maintenant obtenir une expression de la forme n=12q+r, il va donc falloir remplacer k par 3q+\cdots dans (1). D'où l'idée de diviser k par 3...
   On raisonne alors par disjonction de cas :
   • Si le reste de la division euclidienne de k par 3 est 0, alors :
     k=3q
     donc n=4\times 3q+3=12q+3.
     Le reste de la division euclidienne de n par 12 est donc 3.
   • Si le reste de la division euclidienne de k par 3 est 1, alors :
     k=3q+1
     donc n=4\times \left(3q+1\right)+3=12q+7.
     Le reste de la division euclidienne de n par 12 est alors 7.
   • Si le reste de la division euclidienne de k par 3 est 2, alors :
     k=3q+2
     donc n=4\times \left(3q+2\right)+3=12q+11.
     Dans ce cas, le reste de la division euclidienne de n par 12 est 11.

   Comme il n'y a pas d'autres possibilités, le reste de la division euclidienne de n par 12 est soit 3, soit 7, soit 11.