Calculer une longueur ou un angle avec les nombres complexes
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Soient $ A $ et $ B $ deux points distincts du plan d'affixes $ z_{A} $ et $ z_{B} $.
- Longueur (distance) : $ AB = |z_{B} - z_{A}| $.
Angle entre deux vecteurs : pour $ A \neq B $ et $ A \neq C $,
$ \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) = \arg\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) $
- Étape 1 : pour une longueur, calculer l'affixe du vecteur $ z_{B} - z_{A} $ puis son module ; pour un angle, former le quotient des affixes de vecteurs et calculer son argument.
- Étape 2 : simplifier (forme algébrique pour le module, forme exponentielle pour l'argument).
- Étape 3 : conclure avec une phrase.
Calcul d'une longueur
Calculer la distance $ AB $ avec $ z_{A} = -2 + i $ et $ z_{B} = 4 - 3i $.
Étape 1 : affixe du vecteur $ \overrightarrow{AB} $.
$ z_{B} - z_{A} = 4 - 3i - (-2 + i) = 6 - 4i $
Étape 2 : module.
$ AB = |6 - 4i| = \sqrt{6^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $
Étape 3 : conclusion.
Calcul d'un angle
Soient $ A $, $ B $, $ C $ d'affixes $ z_{A} = 0 $, $ z_{B} = 2 $, $ z_{C} = 1 + i\sqrt{3} $. Déterminer l'angle $ \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) $.
Étape 1 : former le quotient.
$ Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2} $
Étape 2 : forme exponentielle de $ Z $.
$ |Z| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} = 1 $
$ \cos\theta = \dfrac{1}{2} $ et $ \sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ donnent $ \theta = \dfrac{\pi}{3} $.
Étape 3 : conclusion.
Distance et angle dans un même problème
Soient $ A $, $ B $, $ C $ d'affixes $ z_{A} = 1 + i $, $ z_{B} = 3 + i $, $ z_{C} = 1 + 3i $. Calculer $ AB $, $ AC $ puis l'angle $ \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) $.
Étape 1 : longueurs.
$ z_{B} - z_{A} = 2 $, donc $ AB = |2| = 2 $.
$ z_{C} - z_{A} = 2i $, donc $ AC = |2i| = 2 $.
Étape 2 : angle.
$ Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = \dfrac{2i}{2} = i $
$ \arg(i) = \dfrac{\pi}{2} $
Étape 3 : conclusion.
$ AB = AC = 2 $ et $ \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) = \dfrac{\pi}{2} $ : le triangle $ ABC $ est isocèle rectangle en $ A $.
Remarque
L'expression $ |z_{B} - z_{A}| $ joue un rôle central dans les exercices sur les ensembles de points : la condition $ |z - a| = r $ s'interprète comme « le point $ M $ d'affixe $ z $ est à la distance $ r $ du point $ A $ d'affixe $ a $ ». Voir la fiche Ensemble de points dont l'affixe vérifie une condition.
Attention
- Pour la distance, calculer $ |z_{B} - z_{A}| $ et non $ |z_{B}| - |z_{A}| $ : ces deux quantités sont différentes.
- Pour l'angle de vecteurs, l'ordre $ \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} $ est inverse de l'ordre $ \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) $ : numérateur = vecteur d'arrivée, dénominateur = vecteur de départ.
- L'argument est défini modulo $ 2\pi $ : ramener si nécessaire la valeur dans $ \left]-\pi ; \pi\right] $.