Cryptographie – Bac S Pondichéry 2016 (spé)

Exercice 3 – 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère les matrices M de la forme M = \begin{pmatrix}a&b \\ 5&3\end{pmatrix} où a et b sont des nombres entiers.
Le nombre 3a-5b est appelé le déterminant de M. On le note det(M).
Ainsi det(M) = 3a-5b.

1. Dans cette question on suppose que det(M) \ne 0 et on pose N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3&-b \\ -5&a\end{pmatrix}.
   Justifier que N est l’inverse de M.
2. On considère l’équation (E) :\quad \text{det}(M) = 3.
   On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (a~;~b) solutions de l’équation (E).
   1. Vérifier que le couple (6~;~3) est une solution de (E).
   2. Montrer que le couple d’entiers (a~;~b) est solution de (E) si et seulement si3(a-6) = 5(b-3).
      En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).

Partie B

1. On pose Q = \begin{pmatrix}6 & 3 \\ 5 & 3\end{pmatrix}.
   En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.
2. Codage avec la matrice Q
   Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice Q = \begin{pmatrix}6 &3 \\ 5& 3\end{pmatrix} on utilise la procédure ci-après :

   Étape 1 : On associe au mot la matrice X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} où x_1 est l’entier correspondant à la première lettre du mot et x_2 l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :
   

   A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
   0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

   N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
   13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

   Étape 2 : La matrice X est transformée en la matrice Y = \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix} telle que Y = QX.

   Étape 3 : La matrice Y est transformée en la matrice R = \begin{pmatrix}r_1 \\ r_2\end{pmatrix} telle que r_1 est le reste de la division euclidienne de y_1 par 26 et r_2 est le reste de la division euclidienne de y_2 par 26.

   Étape 4 : À la matrice R = \begin{pmatrix}r_1 \\ r_2\end{pmatrix} on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.

   Exemple : JE \to X = \begin{pmatrix}9 \\ 4\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}66 \\ 57\end{pmatrix} \to R \begin{pmatrix}14 \\ 5\end{pmatrix} \to OF.

   Le mot JE est codé en le mot OF.
   Coder le mot DO.

3. Procédure de décodage
   On conserve les mêmes notations que pour le codage.
   Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que Y = QX.
   1. Démontrer que 3X = 3Q^{-1}Y puis que \begin{cases} 3x_1 \equiv 3r_1-3r_2 \quad [26]\\ 3x_2 \equiv -5r_1+6r_2 \quad [26] \end{cases}
   2. En remarquant que 9 \times 3 \equiv 1 \quad [26], montrer que \begin{cases} x_1 \equiv r_1-r_2 \quad [26] \\ x_2 \equiv 7r_1+2r_2 \quad [26] \end{cases}
   3. Décoder le mot SG.