Exercice 3 – 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Partie A
On considère les matrices M de la forme M = \begin{pmatrix}a&b \\ 5&3\end{pmatrix} où a et b sont des nombres entiers.
Le nombre 3a-5b est appelé le déterminant de M. On le note det(M).
Ainsi det(M) = 3a-5b.
- Dans cette question on suppose que det(M) \ne 0 et on pose N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3&-b \\ -5&a\end{pmatrix}.
Justifier que N est l’inverse de M. - On considère l’équation (E) :\quad \text{det}(M) = 3.
On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (a~;~b) solutions de l’équation (E).- Vérifier que le couple (6~;~3) est une solution de (E).
- Montrer que le couple d’entiers (a~;~b) est solution de (E) si et seulement si3(a-6) = 5(b-3).
En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).
Partie B
- On pose Q = \begin{pmatrix}6 & 3 \\ 5 & 3\end{pmatrix}.
En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q. - Codage avec la matrice Q
Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice Q = \begin{pmatrix}6 &3 \\ 5& 3\end{pmatrix} on utilise la procédure ci-après :Étape 1 : On associe au mot la matrice X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} où x_1 est l’entier correspondant à la première lettre du mot et x_2 l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :
A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Étape 2 : La matrice X est transformée en la matrice Y = \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix} telle que Y = QX.
Étape 3 : La matrice Y est transformée en la matrice R = \begin{pmatrix}r_1 \\ r_2\end{pmatrix} telle que r_1 est le reste de la division euclidienne de y_1 par 26 et r_2 est le reste de la division euclidienne de y_2 par 26.
Étape 4 : À la matrice R = \begin{pmatrix}r_1 \\ r_2\end{pmatrix} on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.
Exemple : JE \to X = \begin{pmatrix}9 \\ 4\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}66 \\ 57\end{pmatrix} \to R \begin{pmatrix}14 \\ 5\end{pmatrix} \to OF.Le mot JE est codé en le mot OF.
Coder le mot DO. - Procédure de décodage
On conserve les mêmes notations que pour le codage.
Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que Y = QX.- Démontrer que 3X = 3Q^{-1}Y puis que \begin{cases} 3x_1 \equiv 3r_1-3r_2 \quad [26]\\ 3x_2 \equiv -5r_1+6r_2 \quad [26] \end{cases}
- En remarquant que 9 \times 3 \equiv 1 \quad [26], montrer que \begin{cases} x_1 \equiv r_1-r_2 \quad [26] \\ x_2 \equiv 7r_1+2r_2 \quad [26] \end{cases}
- Décoder le mot SG.