Le discriminant de l'équation $(E)$ est :

$\Delta = ( - 8)^2 - 4 \times 64 = 64 - 4 \times 64= - 3 \times 64$

$\Delta$ est strictement négatif donc l'équation $(E)$ admet deux racines complexes conjuguées :

$z_1=\frac{8 - 8i\sqrt{3}}{2}=4 - 4i\sqrt{3}$

$z_2=\overline{z_1}=4+4i\sqrt{3}$

1. $|a|=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+48}=8$

   Soit $\theta$ un argument de $a$ :

   $\cos \theta=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

   $\sin \theta=\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

   donc $\theta = \frac{\pi}{3}$ (modulo $2\pi$).

2. La forme exponentielle de $a$ est $a=8 e^{i \frac{\pi}{3}}$.

   $b$ étant le conjugué de $a$, il a le même module et des arguments opposés.

   $b=\overline{a}=8 e^{ - i \frac{\pi}{3}}$

3. $OA=|a|=8$

   $OB=|b|=8$

   $OC=|c|=|8i|=8|i|=8$

   Les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $8$.

4. 

1. $b^{\prime}=b e^{i \frac{\pi}{3}} = 8 e^{ - i \frac{\pi}{3}}e^{i \frac{\pi}{3}}=8e^{ - i \frac{\pi}{3}+i \frac{\pi}{3}}=8 e^{0i}=8$

2. $a^{\prime}=a e^{i \frac{\pi}{3}} = 8 e^{i \frac{\pi}{3}}e^{i \frac{\pi}{3}}=8e^{2i \frac{\pi}{3}}$

   Le module de $a^{\prime}$ est $8$ et un de ses arguments est $\frac{2\pi}{3}$

1. $R$ étant le milieu du segment $[A^{\prime}B]$ :

   $r=\frac{a^{\prime}+b}{2}=\frac{ - 4+4\sqrt{3}+4 - 4\sqrt{3}}{2}=0$

   De même, $S$ est le milieu du segment $[B^{\prime}C]$ donc :

   $s=\frac{b^{\prime}+c}{2}=\frac{8+8i}{2}=4+4i$

2. D'après la figure ci-dessous, le triangle $RST$ semble équilatéral.

   

   Montrons que c'est bien le cas.

   $RS=|s - r|=|4+4i|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$.

   $ST=|t - s|=\left| - 2 - 2\sqrt{3}+i\left( - 2+2\sqrt{3}\right)\right|$

   $ST=\sqrt{\left( - 2 - 2\sqrt{3}\right)^2+\left( - 2+2\sqrt{3}\right)^2}$

   $ST=\sqrt{4+8\sqrt{3}+12+4 - 8\sqrt{3}+12}$

   $ST=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.

   $RT=|t - r| = \left| 2 - 2\sqrt{3}+i\left(2+2\sqrt{3}\right)\right|$

   $RT=\sqrt{\left(2 - 2\sqrt{3}\right)^2+\left(2+2\sqrt{3}\right)^2}$

   $RT=\sqrt{4 - 8\sqrt{3}+12+4+8\sqrt{3}+12}$

   $RT=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.

   Les trois côtés sont égaux donc $RST$ est un triangle équilatéral.