Le discriminant vaut :

$\Delta = 4^{2} - 4\times16\times1= - 48$

Le discriminant est strictement négatif donc l'équation possède deux solutions complexes conjuguées :

$Z_{1}=\frac{ - 4 - i\sqrt{48}}{2} = - 2 - 2\sqrt{3}i$

$Z_{2}=\frac{ - 4+i\sqrt{48}}{2} = - 2+2\sqrt{3}i$

$|Z_{1}|=\sqrt{4+12}=4$

Si $\theta$ est un argument de $Z_{1}$ :

$\cos \theta = - \frac{2}{4}= - \frac{1}{2}$ et $\sin \theta = - \frac{2\sqrt{3}}{4}= - \frac{\sqrt{3}}{2}$ donc $\theta = \frac{ - 2i\pi }{3}$ (mod. $2\pi$)

La forme exponentielle de $Z_{1}$ est donc :

$Z_{1}=4e^{ - 2i\frac{\pi }{3}}$

$Z_{2}$ est le conjugué de $Z_{1}$ donc :

$Z_{2}=4e^{2i\frac{\pi }{3}}$

$a=2e^{i\frac{\pi }{3}}$ donc

$a^{2}=4e^{2i\frac{\pi }{3}}=Z_{2}= - 2+2\sqrt{3}i$

L'équation $z^{2} = - 2+2i\sqrt{3}$ est donc identique à $z^{2}=a^{2}$ dont les solutions sont $a=1+i\sqrt{3}$ et $- a= - 1 - i\sqrt{3}$.

Posons $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ et $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$

$z_{1}\times z_{2}=\left(x_{1}+iy_{1}\right)\left(x_{2}+iy_{2}\right) = x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} + \left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i$

Donc

$\overline{z_{1}\times z_{2}}= x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} - \left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i$

Par ailleurs :

$\overline{z_{1}}\times \overline{z_{2}}=\left(x_{1} - iy_{1}\right)\left(x_{2} - iy_{2}\right) = x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} + \left( - x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}\right)i = \overline{z_{1}\times z_{2}}$

La proposition «Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n, \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n}$ » se montre par récurrence.

♦ Elle est vraie au rang 1 car $\overline{z^{1}}=\left(\overline{z}\right)^{1} \left(=\overline{z}\right)$

♦ Si on suppose qu'elle est vraie au rang $n$, c'est à dire que $\overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n}$ alors :

$\overline{z^{n+1}}=\overline{z^{n}\times z}$

Or d'après ce qui précède : $\overline{z^{n}\times z} = \overline{z^{n}}\times \overline{z}$ donc :

$\overline{z^{n+1}} = \overline{z^{n}}\times \overline{z}$

$\overline{z^{n+1}} = \left(\overline{z}\right)^{n}\times \overline{z}$ (hypothèse de récurrence)

$\overline{z^{n+1}} = \left(\overline{z}\right)^{n+1}$

ce qui montre la proposition par récurrence.

Si $z$ est une solution de (E) alors $z^{4}+4z^{2}+16=0$ donc $\overline{z^{4}+4z^{2}+16}=\overline{0}=0$.

Or d'après les propriétés que l'on vient de démontrer $\overline{z^{4}+4z^{2}+16}=\overline{z}^{4}+4\overline{z}^{2}+16$ donc

$\overline{z}^{4}+4\overline{z}^{2}+16=0$ et $\overline{z}$ est également solution de (E).

D'après les questions 1. et 2., $a$ et $- a$ sont solutions de (E).

D'après ce qui précède, $\overline{a}$ et $- \overline{a}$ sont aussi solutions de (E).

Les quatre solutions de (E) sont donc:

$a=1+i\sqrt{3}$

$- a= - 1 - i\sqrt{3}$

$\overline{a}=1 - i\sqrt{3}$

$- \overline{a}= - 1+i\sqrt{3}$